相関する2つの正規変数の最大値の分布

たとえば、相関係数rとともに通常の2つの標準正規確率変数$X_1$および$X_2$があるとします。$r$

$\max(X_1, X_2)$

よるNadarajahとKotz、2008年、2つのガウスランダム変数の最大/最小の正確な分布のPDFあるように思われます$X = \max(X_1, X_2)$

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

ここで、はPDF、は標準正規分布のCDFです。$\phi$$\Phi$

$\hskip2in$

してみましょう用変量正規PDFなる（X 、Y ）の標準的な周辺分布と相関を持ちますρ。最大のCDFは、定義により、$f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

2変量標準PDFは、対角線の周りで（反射を介して）対称です。したがって、増加にZ + Dのzは元の半無限の正方形に等価な確率の2つのストリップを追加：無限に厚い上部一つである（- ∞ 、Z ] × （Z 、Z + D Z ]その反射対応しながら、右側のストリップであり、（Z 、Z + D Z ] × （- ∞ 、Z ]。$z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

右側のストリップの確率密度はの密度であるにZ倍で合計条件付き確率Yがストリップである、のPr （Y ≤ $X$$z$$Y$。Yの条件付き分布は常に正規であるため、この合計条件付き確率を見つけるには、平均と分散のみが必要です。条件付き平均 Yにおける Xは、回帰予測で ρ Xと条件付き分散は"原因不明"分散である VAR （Y ）- VAR （ρ X ）= 1 - ρ 2。$\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

これを倍増すると、等確率の上部ストリップが考慮され、最大のPDFが得られます。

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

要約

$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$