UMVUEの存在との推定量の選択にで人口
してみましょうから引き出されたランダムサンプルで人口。(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n)N(θ,θ2)N(θ,θ2)\mathcal N(\theta,\theta^2)θ∈Rθ∈R\theta\in\mathbb R のUMVUEを探しています。θθ\theta 結合密度は(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n) fθ（x1、x2、⋯ 、xん）= ∏i = 1ん1θ 2 π−−√exp[ − 12つのθ2（x私− θ ）2]=1（θ2 π−−√）んexp[ −12θ2Σi = 1ん（x私- θ）2]=1（θ 2 π−−√）んexp[ 1θΣi = 1んバツ私− 12つのθ2Σi = 1んバツ2私− n2]= g（θ 、T（x））h （x）∀（x1、⋯ 、xん）∈ Rん、∀θ ∈ Rfθ(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1n1θ2πexp[−12θ2(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp[−12θ2∑i=1n(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nxi2−n2]=g(θ,T(x))h(x)∀(x1,⋯,xn)∈Rn,∀θ∈R\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\theta\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right] \\&=g(\theta,T(\mathbf x))h(\mathbf x)\qquad\forall\,(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb R^n\,,\forall\,\theta\in\mathbb R \end{align} 、ここでおよび。h（x）=1g（θ 、T（x））= 1（θ …