ガウス分布のサンプル尖度の分布の閉形式表現

ガウス分布からサンプリングされたデータのサンプル尖度の分布の閉形式の式はありますか？つまり、

$P(\hat{K}<a)$ここで、はサンプル尖度です。$\hat{K}$

正確なサンプリング分布を導き出すのは難しいです。最初のいくつかの瞬間（1929年までさかのぼる）、さまざまな近似（1960年代初頭までさかのぼる）、およびしばしばシミュレーション（1960年代までさかのぼる）に基づくテーブルがありました。

具体的には：

フィッシャー（1929）は、通常のサンプルにおける歪度と尖度のサンプリング分布の瞬間を与え、ピアソン（1930）（また）は、歪度と尖度のサンプリング分布の最初の4つの瞬間を与え、それらに基づいたテストを提案します。

したがって、たとえば∗：$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

の歪度は$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

の過剰な尖度は$b_2$。$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

*注意-モーメントの値などは、使用されているサンプル尖度の正確な定義によって異なります。たとえば、またはVar （b 2）の別の式が表示された場合、それは通常、サンプルの尖度の定義がわずかに異なるためです。$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

この場合、上記の式を適用すべきである 。$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

$S_U$

$n$

D'AgostinoおよびTietjen（1971）は、尖度の百分位数のより広範な表を提供します。

D'Agostino and Pearson（1973）は、尖度のパーセンテージポイントのグラフを提供します。

フィッシャー、RA（1929年）、
「サンプリング分布の瞬間と製品モーメント」
、ロンドン数学会の議事録、シリーズ2、30：199-238。

ピアソン、ES、（1930）
「正常性テストのさらなる発展」、
Biometrika、22（1-2）、239-249。

ピアソン、ES（1963）
「の瞬間を使用して、確率分布に近似して生じたいくつかの問題、」
Biometrika、50、95から112

ピアソン、ES（1965）
「のパーセントポイントの表$\sqrt{b_1}$$b_2$

$b_2$

$b_2$$\sqrt{b_1}$

$\approx 24/n$$n$$n$