なぜマクネマーの検定は正規分布ではなくカイ二乗を使用するのですか？

正確でないマクネマーの検定がカイ二乗漸近分布をどのように使用するかに気づきました。しかし、正確な検定（2つのケースのテーブルの場合）は二項分布に依存しているため、二項分布の正規近似を提案することが一般的ではないのはなぜですか。

ありがとう。

直感に近い答え：

表を参考にして、マクネマー検定の式を詳しく見てみましょう

      pos | neg
----|-----|-----
pos |  a  |  b
----|-----|-----
neg |  c  |  d

マクネマー統計Mは次のように計算されます。

M = \frac{(b - c)^{2}}{b + c}

$M = {(b-c)^2 \over b+c}$

の定義 $\chi^2$ k自由度の分布は、k 個の独立した標準正規変数の二乗の合計からなるということです。4つの番号は十分に大きい場合、b及びc、したがってb-cおよびb+c正規分布で近似することができます。Mの式を考えると、十分に大きな値を指定Mすると、実際にはおよそa $\chi^2$ 1自由度の分布。

編集：オンストップが正しく示されているように、通常の近似は実際には完全に同等です。これはb-c、正規分布によるの近似を使用する引数を与えられた場合、かなり自明です。

正確な二項バージョンは、このバージョンでは二項分布を使用して比較bするという意味で、符号テストと同等です。 $Binom(b+c,0.5)$ 。または、帰無仮説の下では、bの分布は次のように近似できると言えます。 $N(0.5\times(b+c),0.5^2\times(b+c)$ 。

または、同等に：

\frac{b - (\frac{b + c}{2})}{\frac{\sqrt{b + c}}{2}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-(\frac{b+c}{2})}{\frac{\sqrt{b+c}}{2}}\sim N(0,1)$

単純化する

\frac{b - c}{\sqrt{b + c}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-c}{\sqrt{b+c}}\sim N(0,1)$

または、両側の正方形をとると、 $M \sim \chi^2_1$ 。

したがって、通常の近似が使用されます。それは同じです $\chi^2$ 近似。

— ジョリス・メイス
ソース

そのとおり。Sqrt（M）=（bc）/ Sqrt（b + c）を考慮することで、接続をより明確に見ることができます。bの分散をbとして、cの分散をcとして近似すると（カウントされたデータでは通常）、Sqrt（M）は標準偏差で除算されたほぼ正常な変量（bc）のように見えます。つまり、標準の標準変量のように見えます。実際、Sqrt（M）を標準正規分布の表に参照することで、同等の検定を実行できます。これを効果的に二乗すると、テストは両側対称になります。明らかに、これはbまたはcのいずれかが小さい場合に失敗します。

— whuber

直感的な回答Jorisをありがとう。それでも、McNemarの正確な2項検定に通常の近似を使用するよりも、この近似を使用する方が一般的である理由は何ですか。

— Tal Galili、2010年

@タル：それは同じです。ノンストップの回答と私の編集を参照してください。

— Joris Meys、2010年

実は最後の質問です。したがって、両方が同一である場合（そして、bcの周りに「絶対値」も必要になると思う）、なぜ人々は通常の分布を維持するのではなく、chi分布に行くのですか？利点はどこですか？

— Tal Galili 2010年

@タル：Rが1自由度でchi2をプロットすることを知っているでしょう。

— Joris Meys、2010年

2つのアプローチは同じことになりますか？関連するカイ2乗分布には1つの自由度があるため、確率変数の2乗の分布は標準正規分布です。代数を調べて確認する必要がありますが、現時点では確認する時間はありませんが、両方の方法でまったく同じ答えが得られない場合は驚きます。

— ワンストップ
ソース

詳細については、私の回答をご覧ください

— Joris Meys、2011年

こんにちはワンストップ-どちらも漸近的であるため、Nが小さい場合、結果は多少異なる可能性があります。（ -彼らは常に同じ結果が得られますが示唆されているように、多分または）そのような場合には、私はそれが良いし、通常の近似であるため、カイ二乗と一緒に行くの選択肢がある場合、またはために歴史的な理由の不思議

— タルGalili

@Tal：より小さいNの場合、どちらも保持されません。そして、私の編集に示されているように、それらはまったく同じです。

— Joris Meys、2010年