与えられたある確率は何ですか？

$X$と$Y$が平均$\mu=(\mu_1,\mu_2)$と共分散 \ Sigma = \ begin {bmatrix} \ sigma_ {11}＆\ sigma_ {12} \\ \ sigma_ {12}＆\ sigma_の 2変量正規であると仮定します{22} \\ \ end {bmatrix}$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$。確率$\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$何ですか？

少し明示的な表記ます。ここで、はランダム変数ではなく実数です。であるセットは、2つの半分開いたセグメントを持つL字型のパスです。1つはポイントからまっすぐ上へ、もう1つはこの同じポイントから右へまっすぐです。垂直脚ではで、水平脚ではことは明らかです。$P(X<Y|\min(X, Y)=m)$$m$$\min(X,Y) = m$$(m,m)$$x<y$$x>y$

この幾何学的な直感を考えると、問題を同等の形式で簡単に書き直すことができます。分子には、である垂直の脚のみがあり、分母には、2つの脚の合計があります。$x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

したがって、次に、という形式の2つの式を計算する必要があります。このような2変量正規分布の条件付き確率には、常に正規分布とパラメーターがあります。$P(m<X|Y=m)$$\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

元の問題定義では、は、標準偏差にを使用する一般的な規則とは異なり、共分散行列の要素を参照していることに注意してください。以下では、使用することがより便利でしょう分散とのため条件付き確率分布の標準偏差のために。$\sigma_{ij}$$\sigma$$s^2$$s$

これらの2つのパラメーターがわかれば、累積分布関数からよりも確率を計算できます。$m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

必要な変更を加えて、についても同様の式があります。しましょう$P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

そして

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

次に、これらの2つのスコアに関して完全なソリューションをコンパクトに記述できます。$z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

質問の作成者が提供したシミュレーションコードに基づいて、この理論的な結果をシミュレーション結果と比較できます。

質問は、ベイズの定理の修正バージョン（およびの概念の乱用）を使用して書き換えることができます。$Pr$

$$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$$

をと 2変量PDFとして定義します。および。その後$f_{X,Y}$$X$$Y$$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

$$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$$

そして

$$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$$

正規性と条件付き確率の定義を使用して、被積分関数は次のように書き換えられます。

$$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$$

そして

$$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$$

ここで、

$$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$$

$$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$$

$$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$$

そして

$$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$$

したがって

$$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$$

この最終的なフォームは、@ olooneyが到達した結果に非常に似ています。違いは、彼の確率が通常の密度によって重み付けされていないことです。

数値検証用のRスクリプトはここにあります