なぜ（は打ち切られている）なのか

問題セットで私はこの「補題」を証明しましたが、その結果は私には直観的ではありません。は、打ち切りモデルの標準正規分布です。 $Z$

正式には、、およびです。次に、したがって、切り捨てられたドメインの期待値の式と切り捨てのポイントでの密度間には、何らかの関係があります。誰かがこの背後にある直感を説明できますか？ $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— ハイゼンベルク
ソース

このように判明するのは、項が指数の項の導関数の負であるという事実の結果です。これは、標準の通常の多くのすばらしい結果の1つですが、必ずしもその背後に直感があるわけではありません。一方、ここの賢い人の1人が何らかの直感を考え出しても、私はまったく驚かないでしょう。

z

$z$

— Glen_b-モニカを復活させる

@Glen_b言っているのは、ここで、は任意の連続分布 PDFです

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— 。– whuber

@whuber確かにそうです。質問の結果に直接関連しているので、その結果を強調する価値がありますが、実際のコメントでは、これらの用語の最初がである場合を具体的に参照していました（用語 "期待式は」質問にあった、私は約であることをそれを取った。通常に固有のもので、

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstateモニカ

（少なくとも、その条件付き期待値については明らかな乗法定数まで）。ただし、その特定のは、おそらく回答で議論する価値があります。

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b-モニカを14

最新の編集では、誤ったステートメントの証拠（または直感的な説明）を求めています。条件付きの密度に条件付けあるあり、条件付き期待値はあり、変更後のタイトルにはありません。

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate、2014

微積分の基本定理は直感的に機能しますか？

ましょう示す密度関数標準正規確率変数の。次に、導関数はです。微積分の基本定理により、を代入し、という事実を使用して2番目の積分を取得そして3番目はことに注意してください。または、2番目の積分をからまでの積分として書き込みます $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$ さらに、からまでの積分、およびからまでの奇数関数を積分するとことに注意してください。

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— ディリップ・サルワテ
ソース