平均と分散がわかっている場合、2変量正規データの共分散の最尤推定値は何ですか？

平均としてゼロ、分散として1を持つ2変量正規分布からの無作為標本があるとすると、唯一の未知のパラメーターは共分散です。共分散のMLEとは何ですか？私はそれがようなものでなければならないことを知っていますしかし、これをどうやって知るのでしょうか？ $\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}x_j y_j$

— ステイシー
ソース

スターターとして、あなたはそれが持つ意味を推定するビットuncleverだとは思わない

と

実際に我々は、彼らが0と0であることを知っていますか？

\bar{x}

$\bar{x}$

\bar{y}

$\bar{y}$

— Wolfgang

非常に賢い、それを修正しました。これがどのように簡単に続くことができるかまだわかりません。これはサンプル分散に類似していますが、なぜMLEなのですか（そうでない場合、別の間違いを犯さない限り）

— Stacy

削除しましたか

？この式を取ることは、あなたが考えるという意味ではありません

と

手段の推定値として。

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$

\bar{x}

$\bar x$

\bar{y}

$\bar y$

— ステファン・ローラン

@StéphaneLaurentはい、最初の投稿では、あなたが書いたとおりの式が与えられました。

— Wolfgang

相関係数の推定量（2変量標準正規の場合は共分散に等しい）

\tilde{r} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

$\tilde r = \frac 1n\sum_{i=1}^nx_iy_i$

モーメント法推定量であるサンプル共分散です。それが最尤推定量と一致している場合を見てみましょう。 $\hat \rho$

相関係数を有する二変量標準正規の関節密度あります $\rho$

f (x, y) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y}{2 (1 - ρ^{2})}}

$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{x^2 +y^2 -2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right\}$

したがって、サイズ iidサンプルの対数尤度は $n$

\ln L = - n \ln (2 π) - \frac{n}{2} \ln (1 - ρ^{2}) - \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} - 2 ρ x_{i} y_{i})

$\ln L = -n\ln(2\pi) -\frac n2\ln(1-\rho^2) - \frac 1{2(1-\rho^2)}\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2 -2\rho x_iy_i)$

（ここで、iidの仮定は、もちろん2次元の母集団からの各描画に関するものです）

に関する導関数を取り、それをゼロに設定すると、 3次の多項式が得られます。 $\rho$ $\rho$

\hat{ρ} : n {\hat{ρ}}^{3} - (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}) {\hat{ρ}}^{2} - (1 - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2})) n \hat{ρ} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 0

$\hat \rho: n\hat \rho^3 -\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)\hat\rho^2 -\left(1- \frac 1n\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) \right)n\hat \rho - \sum_{i=1}^nx_iy_i =0$

$\rho$

$(1/n)\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) = (1/n)S_2$ $X$ $Y$ $n$

\hat{ρ} : {\hat{ρ}}^{3} - \tilde{r} {\hat{ρ}}^{2} + [(1 / n) S_{2} - 1] \hat{ρ} - \tilde{r} = 0

$\hat \rho: \hat \rho^3 -\tilde r \hat \rho^2 + \big[(1/n)S_2-1\big]\hat \rho -\tilde r=0$

\Rightarrow \hat{ρ} ({\hat{ρ}}^{2} - \tilde{r} \hat{ρ} + [(1 / n) S_{2} - 1]) = \tilde{r}

$\Rightarrow \hat \rho\Big(\hat \rho^2 -\tilde r \hat \rho + \big[(1/n)S_2-1\big] \Big) = \tilde r$

$\hat \rho = \tilde r$ $(1/n)S_2 =2$

\hat{ρ} \neq \tilde{r}

$\hat \rho \neq \tilde r$

$\rho=0.6$ $n=1.000$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 522.05, S_{2} = 1913.28

$\sum_{i=1}^nx_iy_i = 522.05,\;\;S_2 = 1913.28$

モーメント法推定器は

\tilde{r} = \frac{522.05}{1000} = 0.522

$\tilde r = \frac {522.05}{1000} = 0.522$

対数尤度はどうなりますか？視覚的には、

ここに画像の説明を入力してください

数値的には、

\begin{array}{rrr} ρ & 1st deriv & lnL \\ 0.5 & - 70.92 & - 783.65 \\ 0.51 & - 59.41 & - 782.47 \\ 0.52 & - 47.7 & - 781.48 \\ 0.53 & - 35.78 & - 780.68 \\ 0.54 & - 23.64 & - 780.1 \\ 0.55 & - 11.29 & - 779.75 \\ 0.56 & 1.29 & - 779.64 \\ 0.57 & 14.1 & - 779.81 \\ 0.58 & 27.15 & - 780.27 \\ 0.59 & 40.44 & - 781.05 \\ 0.6 & 53.98 & - 782.18 \end{array}

$\begin{array}{| r | r | r |} \hline \hline ρ&\text{1st deriv}&\text{lnL}\\ \hline 0.5&-70.92&-783.65\\ 0.51&-59.41&-782.47\\ 0.52&-47.7&-781.48\\ 0.53&-35.78&-780.68\\ 0.54&-23.64&-780.1\\ 0.55&-11.29&-779.75\\ 0.56&1.29&-779.64\\ 0.57&14.1&-779.81\\ 0.58&27.15&-780.27\\ 0.59&40.44&-781.05\\ 0.6&53.98&-782.18\\ \hline \end{array}$

また、対数尤度には前に最大のtad があり、1次導関数もゼロになります。表示されていないの値に驚きはありません。また、1次導関数には他のルートがありません。 $\rho=0.56$ $(\hat \rho = 0.558985)$ $\rho$

したがって、このシミュレーションは、最尤推定量がモーメント法推定量（2つのrv間のサンプル共分散）と等しくないという結果と一致しています。

しかし、「みんな」がそうすべきだと言っているように見えるので、誰かが説明を考えるべきです。

更新

MLEがモーメント法推定器であることを証明するリファレンス：Anderson、TW、＆Olkin、I.（1985）。多変量正規分布のパラメーターの最尤推定。線形代数とその応用、70、147-171。
ここですべての平均と分散が自由に変化し、固定されていないことが重要ですか？

...おそらくはい、別の（現在は削除された）回答での@guyのコメントは、指定された平均および分散パラメーターを使用して、2変量法線が曲線指数ファミリーのメンバーになる（したがって、一部の結果とプロパティが変更される）ためです...これは、2つの結果を調整できる唯一の方法のようです。

— アレコスパパドプロス
ソース

これは少し意外なことですが、少し考えてみると予想されます。問題は、モデルの回帰係数を推定すると言い換えることができます。ここで、です。これは線形モデルではないため、MLEが単純な内積であると期待する理由はありません。同じロジックは、しかわからない場合、MLEはであり、しかわからない場合はあることを示しています（私はそう思います！）。。どちらも知らない場合は、MOM見積もりを入手します。

ρ

$\rho$

Y = ρ X + ϵ

$Y = \rho X + \epsilon$

ϵ \sim N (0, {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$\epsilon \sim \mathcal N(0, \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

Var (X)

$\mbox{Var}(X)$

x^{'} y / x^{'} x

$x'y / x'x$

x^{'} y / y^{'} y

$x'y / y'y$

Var (Y)

$\mbox{Var}(Y)$

— 男14

@guy：非常に興味深い。これらの議論は、少し拡張されたとしても、別の回答として投稿するのに十分です。

— アメーバはモニカを元に戻す

@guyこの定式化は同等ではないと思います。なぜなら、設定された回帰の対数尤度には、平方。に取り付けられた係数二変量密度製剤中に存在しません。

ϵ^{2} = (y - ρ x)^{2} = y^{2} - 2 ρ x y + ρ^{2} x^{2}

$\epsilon^2=(y-\rho x)^2 = y^2 -2\rho xy + \rho^2 x^2$

ρ^{2}

$\rho^2$

x^{2}

$x^2$

— Alecos Papadopoulos 2014

私の推測はです。想像してと、次いで推定が期待されています。

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$

n = 2

$n=2$

y_{1} = y_{2}

$y_1=y_2$

0

$0$

— ステファン・ローラン

@AlecosPapadopoulos。項は分母によってキャンセルされるため、元の対数尤度に寄与するデータからの唯一の項は。しかし、これは有名な因数分解、。しかし、という用語を含めることを怠ったため、他の主張は間違っています。

x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y = (1 - ρ^{2}) x^{2} + (y - ρ x)^{2}

$x^2 + y^2 - 2\rho x y = (1 - \rho^2) x^2 + (y - \rho x)^2$

(1 - ρ^{2}) x^{2}

$(1 - \rho^2) x^2$

(1 - ρ^{2})

$(1 - \rho^2)$

(y - ρ x)^{2} / (1 - ρ^{2})

$(y - \rho x)^2 / (1 - \rho^2)$

X \sim N (μ_{X}, σ_{X}^{2})

$X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$

[Y | X] \sim N (μ_{Y} + ρ_{X} \frac{σ_{Y}}{σ_{X}} (X - μ_{X}), σ_{Y | X}^{2} {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$[Y|X] \sim N(\mu_Y + \rho_X \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (X - \mu_X), \sigma^2_{Y|X} \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

σ_{Y} / σ_{X}

$\sigma_Y/\sigma_X$

— 男14

$\mu_X = \mu_Y = 0$ $\sigma_X = \sigma_Y = 1$ $n$

L (ρ | X, Y) = \frac{1}{(2 π [1 - ρ^{2}])^{n / 2}} \exp [- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} (X^{'} X - 2 ρ X^{'} Y + Y^{'} Y)] .

$L(\rho\; |\; X, Y) = \frac{1}{(2\pi[1-\rho^2])^{n/2}}\exp \left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(X'X - 2\rho X'Y + Y'Y)\right].$

$\rho$ $\hat{\rho}$

— デニス
ソース