エラー関数と標準正規分布関数はどのように関連していますか？

標準標準PDFが

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

そしてCDFは

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

これはどのようにして誤差関数に変わるのですか？$z$

$\text{Erf}$

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定義、誤差関数があります

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

$t^2 = z^2/2$$t = z / \sqrt{2}$$t$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

右側のサイズのこれらの積分は、両方とも標準正規分布のCDFの値です。

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

具体的には

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

これは、通常のCDFでエラー関数を表現する方法を示しています。これを代数的に操作すると、エラー関数に関して通常のCDFが簡単に得られます。

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

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この関係（とにかく実数）は、2つの関数のプロットに表示されます。グラフは同一の曲線です。左側の誤差関数の座標はのの座標に変換されます。$\Phi$$x$$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

この表記では、乗算、加算、除算の3つの演算が明示的に示されています。