タグ付けされた質問 「recurrence-relation」

アルゴリズム分析では、反復を解決する必要があることがよくあります。マスター定理、置換および反復法に加えて、特性多項式を使用するものがあります。 特徴的な多項式バツ2− 2 x + 2バツ2−2バツ+2x^2 - 2x + 2が虚数の根、つまりバツ1= 1 + iバツ1=1+私x_1 = 1+iおよびを持っていると私が結論付けたとしましょうバツ2= 1 − iバツ2=1−私x_2 =1-i。その後、私は使用できません c1⋅ Xん1+ c2⋅ Xん2c1⋅バツ1ん+c2⋅バツ2ん\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n 解を得るためにね この場合、どうすればよいですか？

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私は再発関係を解決していました。最初の再発関係は T(n)=2T(n/2)+nT(n)=2T(n/2)+nT(n)=2T(n/2)+n これの解は、マスター定理または再帰ツリー法で見つけることができます。再帰ツリーは次のようになります。 解決策は次のとおりです。 T(n)=n+n+n+...+nlog2n=k times=Θ(nlogn)T(n)=n+n+n+...+n⏟log2⁡n=k times=Θ(nlog⁡n)T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n}) 次に私は次の問題に直面しました： T(n)=2T(n/2)+lognT(n)=2T(n/2)+log⁡nT(n)=2T(n/2)+\log{n} 私の本は、マスター定理またはいくつかの代替アプローチによってさえ、この再帰は解を持つことを示しています。これは上記のツリーと同じ構造ですが、各呼び出しで作業を実行する点のみが異なり。ただし、この問題に対して上記の同じアプローチを使用することはできません。Θ(n)Θ(n)\Theta(n)lognlog⁡n\log{n}

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CLRSからこの問題を試しました（ページ39、2.3-4） 挿入ソートは次のように再帰的な手続きとして表現できます。ソートするA[1... n]には、再帰的にソートしてA[1... n-1]からA[n]、ソートされた配列に挿入しA[1... n-1]ます。この再帰バージョンの挿入ソートの実行時間の再帰を記述します。 私が形成した再発は T(n)={Θ(1)T(n−1)+Θ(n)if n=1,if n>1.T(n)={Θ(1)if n=1,T(n−1)+Θ(n)if n>1. T(n) = \begin{cases}\Theta(1) & \textrm{if } n = 1,\\ T(n-1) + \Theta(n) & \textrm{if } n > 1. \end{cases} 私の推論 の基本ケースでは、リストはソートされるため、作業は発生せず、時間が一定になります。n=1n=1n = 1 他のすべてのケースでは、時間はシーケンスのソートとそのシーケンスA[1...n-1]への挿入に依存します。したがって、それはそれらの合計、すなわちます。T(n−1)+Θ(n)T(n−1)+Θ(n)T(n-1) + \Theta(n) 再発関係が正しいか知りたい。そうでない場合、間違いは何ですか？どのようにして再発関係を正しく定式化するのですか？

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注：これは、5ページの反復に関するJeffEのアルゴリズムのメモにあります。 （1）。したがって、基本ケースなしで、繰り返しを定義します。今、私はほとんどの再発について、漸近的な境界を探しているので、基本的なケースは問題にならないことを理解しています。しかし、この場合、基本ケースをどこに定義できるかさえわかりません。私達は私達がちょうど定義してください任意の整数から始まる平方根を取っておくよう、私たちはヒットに保証している任意の数が存在し、T（n）を=のためのn &lt;Bいくつかの実数のため、、bが？T（n）=an&lt;babT(n)=n−−√T(n−−√)+nT(n)=nT(n)+nT(n) = \sqrt{n}T(\sqrt{n})+nT(n)=aT(n)=aT(n) = an&lt;bn&lt;bn<baaabbb （2）。7ページ目で、エリクソンは、再帰ツリーLの層の数がn ^ {{2} ^ {-L}} = 2を満たすことを理解しますn2−L=2n2−L=2n^{{2}^{-L}} = 2。これはどこから来たのですか？何も思いつきません。ツリーの葉の数の合計は(√n)(√n)=n(n)(n)=n\sqrt(n)\sqrt(n) = nになるはずですが、そこからどこに行くべきかわかりません。 どんな助けでもありがたいです！ 私が見ているメモ：http : //jeffe.cs.illinois.edu/teaching/algorithms/notes/99-recurrences.pdf

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A229037 の最初の値を計算するというコードゴルフチャレンジのために、次の（無記号の）Haskellプログラムを作成しました。nnn これは、番目の値を計算するために提案するソリューションです。nnn a n | n&lt;1 = 0 | n&lt;3 = 1 | otherwise = head (goods n) goods n = [x | x &lt;- [1..], isGood x n] isGood x n = and [ x - a(n-k) /= a(n-k) - a(n-k-k) || a(n-k-k) == 0 | k &lt;- …

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この質問は、問題を解決するために実行される手順の方法においてかなり具体的です。 所定の T(n)=2T(2n/3)+O(n)T(n)=2T(2n/3)+O(n)T(n)=2T(2n/3)+O(n)ことを証明。T(n)=O(n2)T(n)=O(n2)T(n)=O(n^2) したがって、手順は次のとおりです。あることを証明したい。T(n)≤cn2T(n)≤cn2T(n) \le cn^2 T(n)=2T(2n/3)+O(n)≤2c(2n/3)2+an≤(8/9)(cn2)+anT(n)=2T(2n/3)+O(n)≤2c(2n/3)2+an≤(8/9)(cn2)+an\begin{align*} T(n)&=2T(2n/3)+O(n) \\ &\leq 2c(2n/3)^2+an\\ &\leq (8/9)(cn^2)+an \end{align*} そして、私の教授は続けました： T(n)≤cn2+ （N - （1 / 9 ）C nは2）、T（ん）≤cん2+（aん−（1/9）cん2）、T(n) \leq cn^2+(an-(1/9)cn^2)\,, これは次のようになります： T（N ）≤ CのN2 いずれかのために 、C &gt; = 9 A。T（ん）≤cん2 のために c&gt; =9a。T(n)\leq cn^2 \text{ for any }c >= 9a\,. 私の質問は、新しい用語を導入するときに、どうやって8/9から1/9に切り替えることができたのですか？これは許可されますか？彼女は説明しなかった、これは彼女の解決策にあるだけでした。

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アルゴリズムの時間の複雑さが入力のスケールで多対数であることを証明したいと思います。 このアルゴリズムの漸化式は、T(2n)≤T(n)+T(na)T(2n)≤T(n)+T(na)T(2n) \leq T(n) + T(n^a)ここで、∈ （0 、1 ）。a∈(0,1)a∈(0,1)a\in(0,1) と思わいくつかのためのに依存します。しかし、私はこの不平等を証明することはできません。この再発関係を解決するにはどうすればよいですか？ β AT(n)≤logβnT(n)≤logβ⁡nT(n) \leq \log^{\beta}{n}ββ\betaaaa nの上限の多重対数を取得したいだけです。

8 asymptotics  recurrence-relation 

のリストが与えられたとしましょう んnn ポイント、その バツxx そして yyy座標はすべて負ではありません。また、重複するポイントがないとします。ポイントからしか行けない（バツ私、y私）(xi,yi)(x_i, y_i) ポイントへ （バツj、yj）(xj,yj)(x_j, y_j) もし バツ私≤バツjxi≤xjx_i \le x_j そして y私≤yjyi≤yjy_i \le y_j。問題は次のとおりです。んnnポイント、上記のルールを使用してポイントを接続する2つのパスを描画することが許可されている場合に到達できるポイントの最大数はいくつですか？パスは原点から開始する必要があり、繰り返しポイントを含めることができます。（0、0）(0,0)(0, 0) もちろん到達ポイントには含まれていません。 例：与えられた （2、0）、（2、1）、（1、2）、（0、３）、（1、３）、（2、３）、（３、３）、（2、4）、（1、5）、（1、6）(2,0),(2,1),(1,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(2,4),(1,5),(1,6)(2, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (2, 4), (1, 5), (1, 6)、答えは 888 私たちは取ることができるので （0、0）→（2、0）→（2、1）→（2、３）→（2、4）(0,0)→(2,0)→(2,1)→(2,3)→(2,4)(0, 0) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (2, …

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フォンブランドの回答に続いて、私は生徒のためのより強力なマスター定理についての小さな文書を書きたいと思います。その1つがアクラ・バッツィの定理です。私は彼らの論文[1]から定理をコピーして、小さな表記上の混乱²の他に、次の問題を発見しました。 著者は必要とします（私の強調）： g(x)g(x)g(x) 実際の値に対して定義されています xxx、有界の正の非減少関数 ∀x≥0∀x≥0\forall x \geq 0 ここに、 ggg 通行料関数です。つまり、繰り返しは次の形式です T(n)=g(n)+∑i=1kaiT(⌊nb−1i⌋)T(n)=g(n)+∑i=1kaiT(⌊nbi−1⌋)\qquad\displaystyle T(n) = g(n) + \sum_{i=1}^k a_i T\bigl(\lfloor n b_i^{-1} \rfloor\bigr)。 今、彼らの論文の最後（p209）で、彼らは彼らの結果を適用するための複数の例を示し、彼らは Ω(n)Ω(n)\Omega(n)これは明らかに制限されていません。 証明をスキミングすることから、彼らは主に形式の積分を要求するようです ∫bag（x ）バツp + 1dバツ∫abg(x)xp+1dx\qquad\displaystyle \int_a^b \frac{g(x)}{x^{p+1}} dx 有限の値を持っています。したがって、gggすべてのコンパクトな間隔に制限されることで十分かもしれません。私は証明を詳細に処理しませんでした。彼らがそれを意味することは可能ですか？ 私の質問は、アクラ・バッツィの定理は、証明と例と一致するようにどのように述べられるべきですか？ M. AkraおよびL. Bazzi（1998）による線形回帰方程式の解について 彼らは必要とする a私∈R∗ +ai∈R∗+a_i \in R^{*+}。これは私が知らないいくつかの表記ですか、それともタイプミスですか？意図された意味は(0,∞)⊆R(0,∞)⊆R(0,\infty) \subseteq \mathbb{R}。

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アルゴリズムの概要、第3版（p.95）には、再発を解決する方法の例があります T(n)=3T(n4)+n⋅log(n)T(n)=3T(n4)+n⋅log⁡(n)\displaystyle T(n)= 3T\left(\frac{n}{4}\right) + n\cdot \log(n) マスター定理を適用することによって。 私はそれがどのように行われるかについて非常に混乱しています。そう、a=3,b=4,f(n)=n⋅log(n)a=3,b=4,f(n)=n⋅log⁡(n)a=3, b=4, f(n) = n\cdot \log(n) 最初のステップは比較することです nlogba=nlog43=O(n0.793)nlogb⁡a=nlog4⁡3=O(n0.793)n^{\log_b a} = n^{\log_4 3}= O(n^{0.793}) と f(n)f(n)f(n)。 彼らがこれをどのように比較したのか私には手がかりがありません。本は説明します： f(n)=Ω(nlog43+ϵ)f(n)=Ω(nlog4⁡3+ϵ)f(n) = \Omega (n^{\log_4 3+\epsilon })、 どこ ϵ≈0.2ϵ≈0.2\epsilon \approx 0.2、規則性の条件が満たされることを示すことができる場合、ケース3が適用されます f(n).f(n).f(n). に続く： nが十分に大きい場合、次のようになります。 af(nb)=3(n4)log(n5)≤(34)nlogn=cf(n) for c=34.af(nb)=3(n4)log⁡(n5)≤(34)nlog⁡n=cf(n) for c=34.af\left(\frac{n}{b}\right) = 3\left(\frac{n}{4}\right)\log\left(\frac{n}{5}\right) \le\left(\frac{3}{4}\right)n \log n = cf(n)~ for~ …

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再帰を調べています これは、特定されていないアルゴリズムの実行時間を示しています（基本ケースは提供されていません）。T(n)=T(n/2)+T(n/3)+n,T(n)=T(n/2)+T(n/3)+n,T(n) = T(n/2) + T(n/3) + n, 帰納法を使用して、であることがわかりましたが、これはきついとは言われていません。実際、帰納的にすべてのと仮定しT(n)=O(nlogn)T(n)=O(nlog⁡n)T(n) = O(n\log n)T(k)≤CklogkT(k)≤Cklog⁡kT(k) \leq Ck\log kk&lt;nk&lt;nk 0、したがって、最後の式は C56nlogn≤CnlognC56nlog⁡n≤Cnlog⁡nC\frac{5}{6}n\log n\leq Cn\log n。 私の最初の質問は、これより厳しい制限は何ですか？ 次に、Akra-Bazziメソッドを使用してこれを解決しようとしたので、 ppp 解決する (12)p+(13)p=1.(12)p+(13)p=1.\left(\frac{1}{2}\right)^p + \left(\frac{1}{3}\right)^p = 1. それからおよそ p=0.79p=0.79p=0.79、および（と g（n ）= ng（ん）=んg(n) = n）なる ∫ん1g（u ）あなたp + 1du =∫ん11あなたpdu =11 − p（ん1 − p− 1 ）、∫1んg（あなた）あなたp+1dあなた=∫1ん1あなたpdあなた=11−p（ん1−p−1）、\int_1^n \frac{g(u)}{u^{p+1}} du …

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私は見てよマスター定理にジェフリー・エリクソンの注意事項 （10ページ）。 定理のパート（b）では、場合、および場合、T（n）はです。しかし、私は別の結果を得ます。T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(nb)+f(n)T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)af(nb)=kf(n)af(nb)=kf(n)af(\frac{n}{b}) = kf(n)k&gt;1k&gt;1k>1Θ(nlogb(a))Θ(nlogb⁡(a))\Theta(n^{\log_b(a)}) 再帰ツリーを使用すると、T(n)=∑i=0logb(n)aif(nbi)=∑k=0logb(n)kif(n).T(n)=∑i=0logb⁡(n)aif(nbi)=∑k=0logb⁡(n)kif(n).T(n) = \sum_{i=0}^{\log_b(n)} a^i f\left(\frac{n}{b^i}\right) = \sum_{k=0}^{\log_b(n)} k^i f(n)\,. 場合、これは必要に応じてです。場合、これは必要に応じてです。ただし、場合、これは昇順の幾何学的系列であるため、最後の項が優先されます。次に、ありますがこれは誤りです。正解はです。私の推論はどこから抜け出し、正しい解決策は何ですか？k&lt;1k&lt;1k<1∼f(n)∼f(n)\sim f(n)k=1k=1k=1∼logb(n)f(n)∼logb⁡(n)f(n)\sim \log_b(n)f(n)k&gt;1k&gt;1k>1∼klogb(n)f(n)=nlogb(k)f(n),∼klogb⁡(n)f(n)=nlogb⁡(k)f(n),\sim k^{\log_b(n)}f(n) = n^{\log_b(k)}f(n)\,,Θ(nlogb(a))Θ(nlogb⁡(a))\Theta(n^{\log_b(a)}) どんな助けでもありがたいです。 編集：私は私の答えは実際には正しいと思います、そしてエリクソンのより単純な答えと同等です。なお、 したがって、です。knf(n)=kn−1af(nb)...=kan−1f(nbk−1)=anf(nbk).knf(n)=kn−1af(nb)...=kan−1f(nbk−1)=anf(nbk).k^nf(n) = k^{n-1}af(\frac{n}{b}) ... = ka^{n-1}f(\frac{n}{b^k-1}) = a^nf(\frac{n}{b^k}).klogb(n)f(n)=alogb(n)f(1)∼nlogb(a)klogb⁡(n)f(n)=alogb⁡(n)f(1)∼nlogb⁡(a)k^{\log_b(n)}f(n) = a^{\log_b(n)}f(1) \sim n^{\log_b(a)}

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私は式と順序を見つける必要がある宿題を持っています T(n)T(n)T(n) によって与えられた T(1)=1T(n)=T(n−1)T(n−1)+1.T(1)=1T(n)=T(n−1)T(n−1)+1.T(1) = 1 \qquad\qquad T(n) = \frac{T(n-1)}{T(n-1) + 1}\,. 私がいることを確立してきた今は少し混乱しています。ある第二の部分のための正解？T(n)=1nT(n)=1nT(n) = \frac{1}{n}T(n)∈O(1n)T(n)∈O(1n)T(n) \in O(\frac{1}{n}) big-Oの定義に基づいて、 O(g(n))={f(n)∣∃c,n0&gt;0 s.t. 0≤f(n)≤cg(n) for all n≥n0}.O(g(n))={f(n)∣∃c,n0&gt;0 s.t. 0≤f(n)≤cg(n) for all n≥n0}.O(g(n)) = \{f(n) \mid \exists c, n_0>0\text{ s.t. } 0\leq f(n) \leq cg(n)\text{ for all } n\geq n_0\}\,. これはも当てはまるので、定義に基づいてf(n)=g(n)=1nf(n)=g(n)=1nf(n) = g(n) = …

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再発を解決する必要があり、これらの問題を解決する反復的な方法を確実に理解したかったので、久しぶりです。与えられた： T（n ）= 3 T（n − 2 ）T（ん）=３T（ん−2）T(n) = 3T(n-2) 私の最初のステップは、一般的な形式に到達するように用語を繰り返し置換することでした： T（n − 2 ） = 3 T（ n − 2 − 2 ） = 3 T（n − 4 ）T（ん−2）=３T（ん−2−2）=３T（ん−4）T(n-2) = 3T(n-2 -2) = 3T(n-4) T（n ）= 3 ∗ 3 T（n − 4 ）T（ん）=３∗３T（ん−4）T(n) = 3 *3T(n-4) 一般的な形式につながる： T（n ）=３kT（n …

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近似を 探していΘΘ\ThetaT（n ）= T（n − 1 ）+ cん2T（ん）=T（ん−1）+cん2T(n) = T(n-1) + cn^{2} これは私がこれまでに持っているものです： T（n − 1 ）T（n ）T（n − 2 ）T（n ）T（n − 3 ）T（n ）= T（n − 2 ）+ c （n − 1）2= T（n − 2 ）+ c （n − 1 ）+ cん2= T（n − 3 ）+ c （n …

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