ジェフリー・エリクソンのノートからの、マスター定理の理解の問題

私は見てよマスター定理にジェフリー・エリクソンの注意事項 （10ページ）。

定理のパート（b）では、場合、および場合、T（n）はです。しかし、私は別の結果を得ます。$T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)$$af(\frac{n}{b}) = kf(n)$$k>1$$\Theta(n^{\log_b(a)})$

再帰ツリーを使用すると、

$$T(n) = \sum_{i=0}^{\log_b(n)} a^i f\left(\frac{n}{b^i}\right) = \sum_{k=0}^{\log_b(n)} k^i f(n)\,.$$

場合、これは必要に応じてです。場合、これは必要に応じてです。ただし、場合、これは昇順の幾何学的系列であるため、最後の項が優先されます。次に、ありますがこれは誤りです。正解はです。私の推論はどこから抜け出し、正しい解決策は何ですか？$k<1$$\sim f(n)$$k=1$$\sim \log_b(n)f(n)$$k>1$

$$\sim k^{\log_b(n)}f(n) = n^{\log_b(k)}f(n)\,,$$ $\Theta(n^{\log_b(a)})$

どんな助けでもありがたいです。

編集：私は私の答えは実際には正しいと思います、そしてエリクソンのより単純な答えと同等です。なお、 したがって、です。$k^nf(n) = k^{n-1}af(\frac{n}{b}) ... = ka^{n-1}f(\frac{n}{b^k-1}) = a^nf(\frac{n}{b^k}).$$k^{\log_b(n)}f(n) = a^{\log_b(n)}f(1) \sim n^{\log_b(a)}$

をさらに簡略化できます。$n^{\log_b(k)}f(n)$

我々は。もし、我々は、このアイデンティティ適用することができる取得する時間を。$\frac{a}{k}f(\frac{n}{b}) = f(n)$$c = \log_b(n)$$c$$\left(\frac{a}{k}\right)^c f(1)$

したがって、$n^{\log_b(k)}f(n) = n^{\log_b(k)}\left(\frac{a}{k}\right)^c f(1) = k^{\log_b(n)}\left(\frac{a}{k}\right)^{\log_b(n)} f(1) = a^{\log_b(n)}f(1) = \Theta(n^{\log_b(a)})$