T（n）= 2T（n / 2）+ log nを再帰ツリー法で解く

私は再発関係を解決していました。最初の再発関係は

$T(n)=2T(n/2)+n$

これの解は、マスター定理または再帰ツリー法で見つけることができます。再帰ツリーは次のようになります。

解決策は次のとおりです。

$T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n})$

次に私は次の問題に直面しました：

$T(n)=2T(n/2)+\log{n}$

私の本は、マスター定理またはいくつかの代替アプローチによってさえ、この再帰は解を持つことを示しています。これは上記のツリーと同じ構造ですが、各呼び出しで作業を実行する点のみが異なり。ただし、この問題に対して上記の同じアプローチを使用することはできません。$\Theta(n)$$\log{n}$

再帰関係の非再帰的な用語は、副問題の解をマージする作業です。（バイナリ）再帰ツリーのレベルは、サイズ部分問題が含まれているため、最初にレベル合計作業量を見つけ、次にこの作業をすべてにわたって要約する必要がありますツリーレベル。$k$$2^k$$\frac {n}{2^k}$$k$

仕事が一定であれば、例えば、、その後、レベル上の総仕事あろう、および総時間以下の合計により与えられます。$C$$k$$2^k \cdot C$$T(n)$

$$T(n) = \sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k C = C(2^{\log_2{n}+1}-2) = \Theta(n)$$

ただし、問題のサイズに応じて作業が対数的に増加する場合は、ソリューションを正確に計算する必要があります。シリーズは次のようになります。

$$T(n)=\log_2{n}+\underbrace{2\log_2(\frac {n} {2})+4\log_2(\frac {n} {4})+8\log_2(\frac {n} {8}) + ....}_{\log_2{n} \text{ times}}$$

非常に複雑な合計になります。

$$T(n)=\log_2{n}+\sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})$$

一時的にと表記し、上記の合計を簡略化します。$m=\log_2{n}$

$$\sum_{k=1}^{m}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})=\\=\sum_{k=1}^{m}2^k(\log_2{n}-k)=\\=\log_2{n}\sum_{k=1}^{m}2^k-\sum_{k=1}^{m}k2^k=\\=\log_2{n}(2^{m+1}-2)-(m2^{m+1}-2^{m+1}+2)$$

ここでは、Wolfram | Alphaオンラインシンボリック代数計算機からの合計の式を使用しました。次に、を戻す必要があります。$\sum_{k=1}^{m}k2^k$$m$$\log_2{n}$

$$T(n)=\log_2{n}+2n\log_2{n}-2\log_2{n}-2n\log_2{n}+2n-2$$ $$=2n-\log_2{n}-2=\Theta(n)$$

QED