繰り返し関係のBig-O証明？

この質問は、問題を解決するために実行される手順の方法においてかなり具体的です。

所定の $T(n)=2T(2n/3)+O(n)$ ことを証明。 $T(n)=O(n^2)$

したがって、手順は次のとおりです。あることを証明したい。 $T(n) \le cn^2$

\begin{aligned} T (n) & = 2 T (2 n / 3) + O (n) \\ \leq 2 c (2 n / 3)^{2} + a n \\ \leq (8 / 9) (c n^{2}) + a n \end{aligned}

$\begin{align*} T(n)&=2T(2n/3)+O(n) \\ &\leq 2c(2n/3)^2+an\\ &\leq (8/9)(cn^2)+an \end{align*}$ そして、私の教授は続けました：

T （ ん ） \leq c ん^{2} + （ a ん - （ 1 / 9 ） c ん^{2} ） 、

$T(n) \leq cn^2+(an-(1/9)cn^2)\,,$ これは次のようになります：

T （ ん ） \leq c ん^{2} のために c > = 9 a 。

$T(n)\leq cn^2 \text{ for any }c >= 9a\,.$

私の質問は、新しい用語を導入するときに、どうやって8/9から1/9に切り替えることができたのですか？これは許可されますか？彼女は説明しなかった、これは彼女の解決策にあるだけでした。

asymptotics recurrence-relation

— D.ジョンソン
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新しい用語が導入されていないのですか？我々は持っていることのように簡単にラインで前と同じように。したがって、2つの線は実際には同じです。おそらくあなたはなぜこれをしたいのかと尋ねているのでしょうか？

c n^{2} + a n - (1 / 9) c n^{2}

$cn^2 +an - (1/9)cn^2$

(8 / 9) c n^{2} + a n

$(8/9)cn^2 + an$

— user340082710

また、最後の行はではなくはずだと想定しています。

c n^{2}

$cn^2$

c k^{2}

$ck^2$

— user340082710

@ZacharyFrenetteああ、そうだね。その場合、私は彼女がどのように単純化したのか確信が持てませんでした。なぜそのように用語を分けることを選ぶのでしょうか？分割する方法はたくさんあります（8/9）。余分なをキャンセルするために、なぜこれを実行するのかを知っていると思います。そうでなければ、不平等は成立しません。また、タイプミスを指摘してくれてありがとう、修正します。回答としてコメントしたい場合は受け付けます。

a n

$an$

— D.ジョンソン

$an$ $(8/9)cn^2 + an \leq cn^2 + an$ $an$ $(1/9)cn^2$ $an$ $c \geq 9a$ $an - (1/9)cn^2 \leq 0$ $c$

— ユーザー340082710
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