Akra-Bazziが有料関数gが制限されている必要があるのはなぜですか？

フォンブランドの回答に続いて、私は生徒のためのより強力なマスター定理についての小さな文書を書きたいと思います。その1つがアクラ・バッツィの定理です。私は彼らの論文[1]から定理をコピーして、小さな表記上の混乱²の他に、次の問題を発見しました。

著者は必要とします（私の強調）：

$g(x)$ 実際の値に対して定義されています $x$、有界の正の非減少関数 $\forall x \geq 0$

ここに、 $g$ 通行料関数です。つまり、繰り返しは次の形式です

$\qquad\displaystyle T(n) = g(n) + \sum_{i=1}^k a_i T\bigl(\lfloor n b_i^{-1} \rfloor\bigr)$。

今、彼らの論文の最後（p209）で、彼らは彼らの結果を適用するための複数の例を示し、彼らは $\Omega(n)$これは明らかに制限されていません。

証明をスキミングすることから、彼らは主に形式の積分を要求するようです

$\qquad\displaystyle \int_a^b \frac{g(x)}{x^{p+1}} dx$

有限の値を持っています。したがって、$g$すべてのコンパクトな間隔に制限されることで十分かもしれません。私は証明を詳細に処理しませんでした。彼らがそれを意味することは可能ですか？

私の質問は、アクラ・バッツィの定理は、証明と例と一致するようにどのように述べられるべきですか？

1. M. AkraおよびL. Bazzi（1998）による線形回帰方程式の解について
2. 彼らは必要とする $a_i \in R^{*+}$。これは私が知らないいくつかの表記ですか、それともタイプミスですか？意図された意味は$(0,\infty) \subseteq \mathbb{R}$。

見てみましょうトム・レイトンのノート Wikipediaの記事から参照し、。彼のメモは明らかに元の論文よりもタイプミスが少ないようです。彼が要求する状態$g$は多項式の成長を持っています。つまり、定数で引数をスケーリングすると、関数がスケーリングする量も定数によって制限されます。

私が見た最も良いバージョンのAkra-Bazziの定理は、リーマン、レイトン、マイヤーの「コンピュータサイエンスのための数学」の1つです。1019ページから議論が始まります。（古い）印刷バージョンが利用可能です。しかし、証拠はありません。講義ノート/本のバージョンが正しいことを確認するために、レイトンのノートをすり抜ける必要があります（条件が多少異なり、確認がはるかに簡単です）。