虚数の根を持つ特性多項式を介して反復を解く

アルゴリズム分析では、反復を解決する必要があることがよくあります。マスター定理、置換および反復法に加えて、特性多項式を使用するものがあります。

特徴的な多項式 $x^2 - 2x + 2$ が虚数の根、つまり $x_1 = 1+i$ およびを持っていると私が結論付けたとしましょう $x_2 =1-i$ 。その後、私は使用できません

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

解を得るためにねこの場合、どうすればよいですか？

algorithms algorithm-analysis recurrence-relation

— コライ
ソース

ようこそ！LaTeXはで使用できることに注意してください $...$ 。

— ラファエル

私は混乱しています。方程式ではなく特性多項式を使用する方法を意味していると思います。何である

？あなたが与える方程式の解は虚数ではなく、単に不合理です。「[多項式]を適用する」とはどういう意味ですか？

j

$j$

— ラファエル

彼は、スペルミス

物理学者の習慣を採用しています。

i

$i$

— JeffE 2012年

もちろん、できます。まず、解は再帰を満たします。第二に、解空間は、次元2である

— Strin

はい、実際の解は、いくつかの定数およびは基本ケースによって決定されます。基底のケースが実数の場合、すべての整数について、帰納法によって）すべての複素項がキャンセルされます。 $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ $\alpha$ $\beta$ $T(n)$ $n$

たとえば、の繰り返しを考えます。ベースケースはおよびです。この反復の特性多項式はなので、解は $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$ $T(0)=0$ $T(1)=2$ $x^2-2x+2$ は定数とです。基本ケースを接続すると、 $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ $\alpha$ $\beta$ つまり、

T （ 0 ） = α （ 1 + 私 ）^{0} + β （ 1 - 私 ）^{0} = α + β = 0 T （ 1 ） = α （ 1 + 私 ）^{1} + β （ 1 - 私 ）^{1} = （ α + β ） + （ α - β ） 私 = 2

$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$

は、

および

を意味します。溶液であるので

α + β = 0 α - β = - 2 私

$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$

α = - i

$\alpha = -i$

β = i

$\beta = i$

T （ ん ） = 私 \cdot （ （ 1 - 私 ）^{ん} - （ 1 + 私 ）^{ん} ） 。

$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$

この関数は及び $\sqrt{2}^n$ $-\sqrt{2}^n$ $T(4n) = 0$ $n$ $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ $T(0)$

— ジェフ
ソース

特徴的な多項式の虚数根（正しく覚えていれば、シーケンスの生成関数の支配的な特異点）は、どこかで負の要素を意味することを覚えているようです。本当？その場合、アルゴリズム分析でこのケースに遭遇してはならない、と言っても安全です。

— ラファエル

2

$2$

1 + i

$1+i$

1 - i

$1-i$

α 2^{n}

$\alpha 2^n$

α

$\alpha$