解決する

アルゴリズムの概要、第3版（p.95）には、再発を解決する方法の例があります

マスター定理を適用することによって。

私はそれがどのように行われるかについて非常に混乱しています。そう、$a=3, b=4, f(n) = n\cdot \log(n)$
最初のステップは比較することです $n^{\log_b a} = n^{\log_4 3}= O(n^{0.793})$ と $f(n)$。

彼らがこれをどのように比較したのか私には手がかりがありません。本は説明します：

$f(n) = \Omega (n^{\log_4 3+\epsilon })$、 どこ $\epsilon \approx 0.2$、規則性の条件が満たされることを示すことができる場合、ケース3が適用されます $f(n).$

に続く：

nが十分に大きい場合、次のようになります。 $af\left(\frac{n}{b}\right) = 3\left(\frac{n}{4}\right)\log\left(\frac{n}{5}\right) \le\left(\frac{3}{4}\right)n \log n = cf(n)~ for~ c=\frac{3}{4}.$

何処にやった $3\left(\frac{n}{4}\right)$ から来る？

私たちの再発が次の形をとるなら $T(n) = aT(n/b) + f(n)$、次に、Masterメソッドの「3番目のケース」を使用するには、次のホールドが必要です。

$f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ いくつかのための $\epsilon > 0$ で、もし $a f(n/b) \leq c f(n)$ 一定の $c < 1$ そしてすべて十分に大きい $n$、その後 $T(n) = \Theta(f(n))$

私たちの再発は次のように定義されます

定義により、 $a = 3, b = 4, f(n) = n \log n$。

今それを示す必要があります $f(n)$ 多項的により大きい $n^{\log_b a}$。それが「$f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$"上からの部分。定義 $\epsilon \approx 0.2$これを達成します。その理由は$\log_4 3 \approx 0.793$ そして $f(n) = \Omega(n^{0.793 + \epsilon})$。

私たちはそれを示すために残されています $f(n)$規則性条件を満たす。それが「$a f(n/b) \leq c f(n)$ 一定の $c < 1$ そしてすべて十分に大きい $n$」部分。

私たちは単に値をプラグインします $a,b$ 取得するため：

これを見やすくするために、 $k = n/4$ そしてそれを観察する $a f(k) = a k \log k$。スワッピング$k$ と $n/4$ 我々は持っています

これで必要な要件が完了しました。 $T(n) = \Theta(n \log n)$。