解決漸化式

アルゴリズムの時間の複雑さが入力のスケールで多対数であることを証明したいと思います。

このアルゴリズムの漸化式は、 $T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$ ここで、。 $a\in(0,1)$

と思わいくつかのためのに依存します。しかし、私はこの不平等を証明することはできません。この再発関係を解決するにはどうすればよいですか？ $T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ $\beta$ $a$

nの上限の多重対数を取得したいだけです。

asymptotics recurrence-relation

、私は仮定しますか？また、参照用の質問を確認しましたか？あなたが尋ねている特定のケースが明示的にカバーされているとは思いませんが、説明されているテクニックはたくさんあります。

a < 1

$a<1$

— David Richerby 14

私が知っているこのタイプの「マスター」定理はありません。CF 私のこの質問と、この1。（cc @DavidRicherby）

— ラファエル

あなたの推測は間違っています。実際には、表示するのは難しいではないと仮定すると、すべてのため、次いで用のすべての。これは、保持するために実際に、私たちは十分な大きさのために必要なこと我々が持っているでしょう $T(n) > 0$ $n > 0$ $T(n) = \Omega(\log^k n)$ $k$ $n$ または

(1 + a^{k}) \log^{k} n = \log^{k} n + \log^{k} n^{a} \geq \log^{k} (2 n),

$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$

限り保持し、

\sqrt[k]{1 + a^{k}} \log n \geq \log n + \log 2

$\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$

、及び十分に大きなに特に

。

[\sqrt[k]{1 + a^{k}} - 1] \log n \geq \log 2

$[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$

n

$n$

の正しい成長順序は何ですか？試すために、と書きます。これで、繰り返しは大型の場合、我々は期待非常に近くにあることを $T(n)$ $S(n) = T(2^n)$

S (n + 1) = S (n) + S (a n) .

$S(n+1) = S(n) + S(an).$

n

$n$

S (n + 1) - S (n)

$S(n+1) - S(n)$

なので、ヒューリスティックな方法では、

が

満たすことが期待されます。この方程式は解くことが少し難しいと思われるが、近似解である

。代入すると、

成長の順序は

ようになるはずです。

S^{'} (n)

$S'(n)$

S

$S$

S^{'} (n) = S (a n)

$S'(n) = S(an)$

S (n) = n^{Θ (\log n)}

$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$

T (n)

$T(n)$

(\log n)^{Θ (\log \log n)}

$(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ 。

— ユヴァルフィルムス
ソース

\log^{k} (2 n) = (\log 2 + \log n)^{k}

$\log^k(2n) = (\log 2 + \log n)^k$

@QiangLiエラーを見つけてくれてありがとう。ただし、引数が適切に変更されると、下限は保持されます。

— Yuval Filmus 14