タグ付けされた質問 「combinatorics」

これは数学的に解く必要はないと言われていましたが、数学は私がやったことを超えているので、私は困惑している宿題の問題を抱えています。ちょうど上限を提供し、それを正当化します。 してみましょう fのf(n)=|{w∈{a,b}n:aa∉w}|.f(n)=|{w∈{a,b}n:aa∉w}|.f(n) = |\{w ∈ \{a, b\}^n : aa \notin w \}|. 漸近上限をます。fffn→∞n→∞n\to\infty これまでのところ： n123456strings23581321compared to 2n2n−02n−12n−32n−82n−182n−43nstringscompared to 2n122n−0232n−1352n−3482n−85132n−186212n−43 \begin{array}{c|c|c} n & \text{strings} & \text{compared to } 2^n \\\hline 1 & 2 & 2^n - 0 \\ 2 & 3 & 2^n - 1 \\ 3 & 5 & …

8 asymptotics  combinatorics  upper-bound 

シュタイナーツリー問題（STP）の実際のアプリケーションはありますか？ VSLIチップ設計がSTPの優れたアプリケーションであることを理解しています。STPの観点から定式化できる、人々が提案できる現実世界の問題の他の例はありますか？ 背景：私は博士課程の研究を始めており、大規模な組み合わせ最適化問題の分解と解決にハイブリッドメタヒューリスティックスと主双対法を使用することを検討しています。私はSTPに魅力を感じており、それを研究するための多くの現実的な動機があるのか​​、それとも理論的に興味があるのか​​疑問に思っています。

8 graph-theory  reference-request  optimization  combinatorics  applied-theory 

与えられた色付きのグラフに標準的な文字列を提供するアルゴリズムを探しています。つまり。グラフの文字列を返すアルゴリズム。2つのグラフが同型の場合にのみ、同じ文字列を取得します。 特に、ほとんどのグラフ（もちろん、最悪の場合は超多項式）で妥当なパフォーマンスを発揮し、簡単に実装できる単純なアルゴリズムを探しています。小さなグラフを期待しているので、パフォーマンスは優れている必要はありません。 残念ながら、私が見つけたほとんどのものは非常に複雑であり、単純にアルゴリズムを説明するよりも、深い数学的なつながりを表現することに関心があります。そんなに深く潜る時間がないのではないでしょうか。誰かが私にショートカットを与えることはできますか？ フロイドワーシャルアルゴリズムのようなものを期待しています。最適ではありませんが、十分に優れており、実装は簡単です。

8 algorithms  graph-theory  combinatorics 

マークは物事を過剰に考える傾向がある人々が住む小さな国に住んでいます。ある日、国の王は、変更をより効率的にするために国の通貨を再設計することを決定しました。王は、最小の紙幣の金額まで（ただし含まない）の金額を正確に支払うために必要なコインの予想数を最小限に抑えたいと考えています。 通貨の最小単位がコインであるとします。王国で最小の紙幣はコインの価値があります。王は、流通しているコインの金種が超えてはならないと決定しました。次に、問題は、を最小化するから整数のセットを見つけることは。んnnメートルmmメートルmm{d1、d2、。。。、dメートル}{d1,d2,...,dm}\{d_1, d_2, ..., d_m\}{ 1 、2 、。。。、n − 1 }{1,2,...,n−1}\{1, 2, ..., n - 1\}1n − 1Σn − 1i = 1c1（i ）+c2（i ）+ 。。。+cメートル（私）1n−1∑i=1n−1c1(i)+c2(i)+...+cm(i)\frac{1}{n-1}\sum_{i = 1}^{n-1}{c_1(i) + c_2(i) + ... + c_m(i)}c1（私）d1+c2（私）d2+ 。。。cメートル（私）dメートル= ic1(i)d1+c2(i)d2+...cm(i)dm=ic_1(i)d_1 + c_2(i)d_2 + ... c_m(i)d_m = i たとえば、標準のUSDとそのコインの金額をます。ここでは、最小の紙幣は最小のコインの100の価値があります。この通貨を使用して46セントを作るには4コインが必要です。我々は。ただし、コインの額面が場合、3つのコインのみが必要になります：。これらの金種セットのうち、99セントまでの合計を作るためにコインの平均数を最小化するものはどれですか。{ 1 、5 、10 、25 、50 }{1,5,10,25,50}\{1, 5, …

8 algorithms  optimization  combinatorics  integers 

文字列の数を数えたい sss 有限のアルファベット以上 AAA、それは繰り返しを含まず、それによって私は任意の部分文字列を意味します ttt の sss、 1&lt;|t|&lt;|s|1&lt;|t|&lt;|s|1< |t| < |s|、のばらばらのコピーはありません ttt に sss。例として、A={a,b}A={a,b}A=\{a,b\}。その後aaaaaaaaa ある部分文字列のため以来、私はカウントしたい文字列のいずれかaaaaaa、ばらばらのコピーはありません。しかしながら、abababababab そのような繰り返しが含まれています。 誰かがすでに有用な式を見つけている場合は、リンクしてください。それ以外の場合は、誰かの回答を使用する場合、私が書く記事でこの投稿を参照します。 別の例を示します。長い文字列を作成してみましょう{a,b}{a,b}\{a,b\}、繰り返しを含まない： aaa（aにすることはできません） aaab（aまたはb） aaabbb（bに することはできません） aaabbba（bまたはaにする ことはできません）aaaba（aまたはbにすることはできません） ツリーを構築した場合、ノードの数を数えることができますが、式が必要です。 編集： まあ、私たちがこれをビンを選択する問題に変換するかどうか最初に考えたほど難しくはありません。少なくとも1回の繰り返しを持つ長さkの文字列のセットは、デカルト積のすべての順列の和集合であるセットに等しくなります。 A×A×⋯×A(k-4 times)×R×RA×A×⋯×A(k-4 times)×R×RA \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R どこ RRR必要な繰り返しです。それが役に立ったかどうかはわかりませんが、プロのように聞こえます:)とにかく、| A |にしましょう ビン、繰り返しになる任意の2つ（同じものであっても）を選択し、次にk−4k−4k-4もっと増やして掛けます（最初の4つはすでに選択されています、参照してください？）。今、私は離散数学からその式を見つける必要があります。

8 formal-languages  combinatorics  strings  word-combinatorics 

DFAのカウントに関して質問があります。 与えられた Σ = {0, 1}入力文字列、状態を設定してQ = {1...n}、どのように私が構築できるのDFAの総数を見つけるだろうか？ これは組み合わせの問題だと思いますが、何を掛ければよいのかよくわかりません。 ありがとう。

8 finite-automata  combinatorics 

ゲーテインスティトゥートで初心者レベルの外国語教授と出会い、できるだけ多くの学生とコミュニケーションをとるために学生が話す最も一般的な5つの言語を学んだことから、私は問題について考えていました。 有限数の人々がいて、それぞれがいくつもの言語を話しているとします。問題の目的のために、実際の言語を複雑にするいくつかのことを無視します（たとえば、人々は複数の言語を話しますが、異なるレベルでは、1つの言語を理解する人々は密接に関連する言語を理解できるかもしれません）言語など）。 したがって、たとえば： P 1が話す{English, German}。 P 2が話す{Spanish, Italian, French}。 P 3が話す{Mandarin, English}。 P 10000が話す{Afrikaans, Swahili, English}、など。 できるだけ多くの人に理解していただけるように翻訳したい文書を書いています。残念ながら、私の予算は限られているため、N言語にしか翻訳できません。 与えられたNの値に対して、意図した母集団から最大数の人々に到達するためのN言語の最適セットをどのように計算しますか？ この問題は、集合論/組み合わせ論の問題として簡単に一般化できるように聞こえるので、誰かが以前にそのような何かに取り組んだことがあると私は確信しています。既存の文献を見てみたいのですが、それを見つける方法がわかりません。 このタイプの問題に名前はありますか？そうでない場合は、別の既知の問題に削減できますか？

7 terminology  reference-request  optimization  combinatorics  sets 

私の木は根が張られており、すべての頂点に最大で2つの子があります。以下の質問の一部またはすべてを解決するのに役立つリファレンスが必要です。 n個の頂点を持つツリーの同型クラスはいくつありますか？ 与えられた2つのツリーが同型であるかどうかを判断するための古典的なアルゴリズムは何ですか？ 素敵な（計算可能な？）同型不変量はありますか？ もちろん、答えは木を定義するために使用された構造に依存するかもしれませんが、構造の正しい選択は私が求めている答えの一部だと思います。

7 algorithms  graph-theory  reference-request  combinatorics  trees 

グラフと頂点のサブセット与えられた場合、 =の頂点と頂点を接続するエッジのセットを定義します。G(V,E)G(V,E)G(V,E)T⊆VT⊆VT \subseteq Vcutset(T)cutset(T)\mathsf{cutset}(T)TTTV∖TV∖TV\setminus T 私たちの目標は、任意のセット与えられたときにでエッジをすばやく返すか、が空であると応答できるようにを前処理することです。構造はスペースの複雑さを持つ必要があります。つまり、すべてのエッジを保持することはできません。クエリの複雑さはます。GGGTTTcutset(T)cutset(T)\mathsf{cutset}(T)cutset(T)cutset(T)\mathsf{cutset}(T)O˜(|V|)O~(|V|)\widetilde{O}(|V|)O˜(|T|)O~(|T|)\widetilde{O}(|T|) Kapronらは、各カットセットのサイズが最大で1の場合に機能する、次の適切なソリューションを提案しています。 各エッジに一意の番号を付けます。各頂点について、 -隣接するすべてのエッジの数のバイナリXORを保持します。上のクエリ所与、計算 -の内部にあるT.すべてのエッジにおけるすべての頂点のバイナリXOR（すなわち、内部の両方のエンドポイント有する）を2回XOR演算され、それゆえに含まれていません。したがって、は実際にはのすべてのエッジのXORです。vvvxor(v)xor(v)\mathsf{xor}(v)TTTxor(T)xor(T)\mathsf{xor}(T)TTTTTTxor(T)xor(T)\mathsf{xor}(T)xor(T)xor(T)\mathsf{xor}(T)cutset(T)cutset(T)\mathsf{cutset}(T) 各カットセットのサイズが最大1の場合、2つのオプションがあります。は、が空であること、またははの単一エッジの数です。xor(T)=0xor(T)=0\mathsf{xor}(T)=0cutset(T)cutset(T)\mathsf{cutset}(T)xor(T)xor(T)\mathsf{xor}(T)cutset(T)cutset(T)\mathsf{cutset}(T) 次に、著者はに複数のエッジが含まれている場合を処理するために、複雑でランダム化された構造について説明します。cutset(T)cutset(T)\mathsf{cutset}(T) しかし結論として、彼らはこう言っています： ここで説明する手法は、カットのサイズが以下であることがわかっている場合、組み合わせを使用することにより、更新時間に追加の係数を使用して決定論的にできることを理解するのは難しくありません。デザイン」。O˜(k)O~(k)\widetilde{O}(k)kkk 残念ながら、私にとってこれは難しいようです...わかりません：すべてのカットセットのサイズが最大でであるときに、組み合わせ設計を使用して問題を解決するにはどうすればよいですか？kkk

7 data-structures  combinatorics 

したがって、組み合わせ論では、自然数パラメーター依存するもののカウントを計算していることがあります。手動またはコンピューターを使用して、シーケンスいくつかの初期項を計算できますaんaんa_nんんn（aん）ん（aん）ん(a_n)_n。これで、整数シーケンスのオンライン百科事典にこれらの初期条件を入力できます。運が良ければ、式との一致を取得して、シーケンスがその式を満たすことを証明するのに役立つ情報を得ることができます。しかし、正確なシーケンスが文書化されていないが、既知のシーケンスに直接関連している場合はどうなりますか？あなたのシーケンスが他の既知のシーケンスの2倍または2乗である場合はどうでしょうか？または、シーケンスを直接または超幾何学用語を含む合計として表現できる場合はどうでしょうか？コンピュータがいくつかの初期条件を与えられたシーケンスの式を提案できる場合、最終的に正しい式を見たときに、問題の構造と問題に基づいて式が真である理由が明らかになるため、数学者にとって非常に役立ちます。式。コンピュータが「推測する」ことを可能にすることで進展があったか

7 combinatorics 

グラフの展開とコンダクタンスの正確な関係について、私はかなり混乱しています。私の最初の質問は： 誰かが私にこれらの両方の概念を論じている参照を指摘することができますか？（私は関連トピックについてさまざまな講義ノートを見つけましたが、これらは拡張またはコンダクタンスのいずれかに焦点を当てているようです...） の拡大を読んだ GGG ランダムウォークの混合速度の尺度です GGG、つまり、定常分布に近づくための時間。のためにddd-一定の膨張を伴う正則グラフ。たとえば、混合時間は Θ(logn)Θ(log⁡n)\Theta(\log n)。同じことがコンダクタンスにも当てはまるようですΦ(G)Φ(G)\Phi(G)、つまり、 Φ(G)Φ(G)\Phi(G) 一定であり、次にランダムウォーク GGG も混ざります Θ(logn)Θ(log⁡n)\Theta(\log n)時間。さらに、このコンダクタンスの特性は、非正則グラフにも当てはまります。ddd-正則グラフの展開 GGG のコンダクタンスを単純に除算することで見つけることができます GGG 沿って ddd。これは次の質問をします： グラフの拡張を考慮する必要があるのはなぜですか GGG、コンダクタンスがより強力な尺度であると思われる場合（拡張を含む）？

7 graph-theory  reference-request  combinatorics  expanders 

ラムジーの定理は、 nnn ノードには、少なくともクリークまたは独立したセットが含まれています 12log2n12log2⁡n\frac{1}{2}\log_2 n ノード。 いくつかの場所（Sipserを含む）で調べようとしましたが、証明から多くの意味を理解することができませんでした。誰かがこれについて証拠（または明確な直感）を提供してくれれば幸いです。

7 graph-theory  proof-techniques  combinatorics  discrete-mathematics 

政府は、1 人の錬金術師、1人のビルダー、1人のコンピューター科学者で構成されるチームを作りたいと考えています。 良好な協力を得るためには、3人のチームメンバーがお互いを好むことが重要です。 したがって、政府は各専門職の人の候補者を集め、「好み」のグラフを作成します。間にエッジがある場合、これは、三分かれたグラフであり、そしてときに限り好き。kkkaaabbbaaabbb （次の場合の関係、すなわち、対称でなく推移はない「ように」という注意好き、次に好きだが、場合好き及び好き必ずしも次に、好き。）aaabbbbbbaaaaaabbbbbbcccaaaccc チームを作成することは常に可能ですか？もちろん違います。たとえば、錬金術師がビルダーを好きではない可能性があります。 ただし、「好きな」グラフに次のプロパティがあるとします。3人の錬金術師と3人のビルダーの各グループには、互いに似ている少なくとも1つの錬金術師とビルダーのペアがあります。錬金術師-コンピューター論者とビルダー-コンピューター論者のための同上。 この特性を考えると、3人のメンバー全員がお互いを好きなチームを作成することは常に可能ですか？もしそうなら、政府が収集しなければならないであろう各タイプ（）の候補者の最小数はいくつですか？kkk kを見つけ、それが最小であることを証明したいと思います。 関連する可能性のあるサブ質問は次のとおりです錬金術師とビルダーのグループで、お互いに好きなペアの最小数はいくつですか？以下のため、質問の前提で、その数は1どの程度である？kkkkkkk = 3k=3k=3k &gt; 3k&gt;3k>3 3番目の質問は、この種の問題の名前は何ですか？

7 graph-theory  graphs  combinatorics 

この質問に答えるための戦いの半分は、それを正確に定式化することだと思います！検索エンジンはあまり出てこないので、これがよく知られているのかよく研究されているのか疑問に思っていました。 私の考え：この質問を定式化する最も簡単な方法は私のタイトルのとおりであると思います：定数与えられると、すべての入力でステップ以下で実行されるTMの数がそこにありますサイズ、そしてどのように多くのTMが使用することをしているテープ正方形またはサイズのすべての入力に少ない？これは質問をする最も直接的で簡単な方法のようですが、たとえば、関数を指定すると、時間内に実行されるTMの数はすべてのサイズ入力について（またはこれらのTMはどのくらい「密」か）？これは私には難しいようです。T 、S 、K ∈ Nt、s、k∈Nt,s,k \in \mathbb{N}tttkkkssskkkp （k ）p（k）p(k)p （k ）p（k）p(k)kkkkkk おそらく、テープのアルファベット（またはGodelの番号付け？）を修正する必要があります。どちらの方法でも、異なるが同型の状態図を持つ2つのTMは同じまたは異なると見なすことができます。 当面の問題は、無限の数があることです。基準を満たすTMをすべて取り、「デッドステート」を追加します。これに対処する方法は2つ考えられます。1つ目（私は好きではありません）は、追加のパラメーターを追加することです。説明の長さが TMが基準をいくつ満たしますか？2番目の方法（私が好む）は、サイズ入力で同等の 2つのTMを考慮することです。そのような入力すべてについて、TMがまったく同じ動作をする場合（同じ状態に入り、テープに同じように書き込み/移動する）。次に、各等価クラスの最小TMに制限するか、基準を満たす等価クラスの数を尋ねます。≤ L≤L\leq L≤ K≤k\leq k 編集：コメントでVorが指摘したように、2番目のアプローチの問題は、その時点での回路と基本的に同じであることです。では、最初のものはどうですか？または、この質問を形式化するより良い方法はありますか？ 参考文献/文学、考え、または回答は非常に興味深く、高く評価されます！

7 complexity-theory  reference-request  turing-machines  combinatorics 

セットのファミリーに電話する F={S1,…,Sk}F={S1,…,Sk}\mathcal{F} = \{S_1, \dotsc, S_k\} 各セットの場合「多様」 Si∈FSi∈FS_i \in \mathcal{F}少なくとも1つの一意の要素があります。最大の多様なセットを見つけるための可能なアプローチは何ですかSSS セットの家族で FF\mathcal{F}？ 1つのアプローチは、変更されたセットパッキング問題を解決することです。と思いますF={S1,…,Sk}F={S1,…,Sk}\mathcal{F}=\{S_1,\dotsc,S_k\}。しましょうKKK 要素のサブセットである K⊂⋃SiK⊂⋃SiK \subset \bigcup S_i、そして F−K={S1∖K,…,Sk∖K}F−K={S1∖K,…,Sk∖K}\mathcal{F}_{-K}=\{S_1 \setminus K,\dotsc, S_k \setminus K\}。次に、最大多様セットSSS から得られる最大の最大集合パッキングに対応 F−LF−L\mathcal{F}_{-L} どこ LLL のすべての非固有要素のセットです FF\mathcal{F}。 しかし、選択するための良いヒューリスティックは何ですか KKK？それとも、より良いアプローチがありますか？

7 algorithms  combinatorics  heuristics