繰り返しのない文字列の数の式は何ですか？

文字列の数を数えたい $s$ 有限のアルファベット以上 $A$、それは繰り返しを含まず、それによって私は任意の部分文字列を意味します $t$ の $s$、 $1< |t| < |s|$、のばらばらのコピーはありません $t$ に $s$。例として、$A=\{a,b\}$。その後$aaa$ ある部分文字列のため以来、私はカウントしたい文字列のいずれか$aa$、ばらばらのコピーはありません。しかしながら、$abab$ そのような繰り返しが含まれています。

誰かがすでに有用な式を見つけている場合は、リンクしてください。それ以外の場合は、誰かの回答を使用する場合、私が書く記事でこの投稿を参照します。

別の例を示します。長い文字列を作成してみましょう$\{a,b\}$、繰り返しを含まない：

aaa（aにすることはできません）
   aaab（aまたはb）
     aaabbb（bに することはできません）
       aaabbba（bまたはaにする
   ことはできません）aaaba（aまたはbにすることはできません）

ツリーを構築した場合、ノードの数を数えることができますが、式が必要です。

編集： まあ、私たちがこれをビンを選択する問題に変換するかどうか最初に考えたほど難しくはありません。少なくとも1回の繰り返しを持つ長さkの文字列のセットは、デカルト積のすべての順列の和集合であるセットに等しくなります。 $A \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R$ どこ $R$必要な繰り返しです。それが役に立ったかどうかはわかりませんが、プロのように聞こえます:)とにかく、| A |にしましょう ビン、繰り返しになる任意の2つ（同じものであっても）を選択し、次に$k-4$もっと増やして掛けます（最初の4つはすでに選択されています、参照してください？）。今、私は離散数学からその式を見つける必要があります。

^{これは、サイズごとに繰り返されない単語の数の後にある質問に答え、目的の量が存在することを意味します。}

定義：呼び出し$w \in \Sigma$ 因子が含まれていない場合に限り、繰り返しなし$xyx$ と $x \in \Sigma^{\geq 2}$ そして $y \in \Sigma^*$。

主張：特定の有限アルファベット$\Sigma$ と $|\Sigma| = k$、長さを超える繰り返しのない単語はありません $2k^2 + 1$。

証明のアイデア：鳩の穴の原理による。一言$w$ 長さの $2k^2 + 2$ （またはより長い単語であり、この長さのプレフィックスを考慮する）、すなわち $w = a_0a_0' \dots a_{k^2}a_{k^2}'$。想定する$w$リピートフリーです。つまり$a_ia_i' \neq a_ja_j'$ すべてのために $i \neq j$（それ以外の場合は、繰り返しがありました）。したがって、$k^2 + 1$シンボルの多くのペア。これは矛盾します$|\Sigma^2| = k^2$。そう$w$ リピートフリーではありません。 $\square$

これは大まかな証明であることに注意してください：要因 $a_i'a_{i+1}$ より早くリピートを作成する可能性があります。

表記：

• $\Sigma^{\geq k} = \bigcup_{i=k}^\infty \Sigma^i = \Sigma^* \setminus \bigcup_{i=0}^{k-1} \Sigma^i$
• "因子" = "サブワード" = "サブストリング"