タグ付けされた質問 「word-combinatorics」

ましょ固定サイズの文字のある有限集合とします。してみましょうαを超えるいくつかの文字列でΣ。私たちは、空でない部分文字列と言うβのαがある繰り返した場合にβ = γ γ、一部の文字列のためのγ。ΣΣ\Sigmaαα\alphaΣΣ\Sigmaββ\betaαα\alphaβ=γγβ=γγ\beta = \gamma \gammaγγ\gamma さて、私の質問は以下が成り立つかどうかです。 すべてのために、いくつか存在するN ∈ N毎に文字列のようなオーバー少なくとも長さの、少なくとも一つの繰り返しが含まれています。ΣΣ\Sigman∈Nn∈Nn \in \mathbb{N}Σ N ααα\alphaΣΣ\Sigmannnαα\alpha 私はバイナリアルファベットでこれを確認しましたが、これはその場合には非常に簡単ですが、サイズ3のアルファベットはすでに確認するのがかなり難しいため、任意の大きな文法の証明が必要です。 上記の推測が当てはまる場合、他の質問で空の文字列を挿入する要求を（ほぼ）削除できます。

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ウィキペディアによると、任意の正規言語のためにLLLが存在定数λ1,…,λkλ1,…,λk\lambda_1,\ldots,\lambda_k及び多項式p1(x),…,pk(x)p1(x),…,pk(x)p_1(x),\ldots,p_k(x)ようにすべてのための数長さのワードの満たす方程式nnnsL(n)sL(n)s_L(n)nnnLLL sL(n)=p1(n)λn1+⋯+pk(n)λnksL(n)=p1(n)λ1n+⋯+pk(n)λkn\qquad \displaystyle s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dots+p_k(n)\lambda_k^n。 言語は正規です（一致します）。 IFF Nも、そしてあるそれ以外の場合。L={02n∣n∈N}L={02n∣n∈N}L =\{ 0^{2n} \mid n \in\mathbb{N} \}(00)∗(00)∗(00)^*sL(n)=1sL(n)=1s_L(n) = 1sL(n)=0sL(n)=0s_L(n) = 0 しかし、私はと見つけることができません（これらは存在する必要があります）。以下のよう微分可能である必要がありかつ一定ではないが、それは何らかの形で波のように動作する必要があります、と私はあなたがおそらくのように加数の無限の数で終わることなく、多項式、指数関数であることを行うことができますどのように見ることができませんテイラー展開。誰でも私を啓発できますか？λiλi\lambda_ipipip_isL(n)sL(n)s_L(n)

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通常の言語で、与えられた長さの単語の数の代数的特徴はありますか？ ウィキペディアは結果をやや不正確に述べています： 任意の正規言語の場合はLLL定数が存在するλ1,…,λkλ1,…,λk\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k及び多項式p1（x ）、… 、pk（x ）p1（バツ）、…、pk（バツ）p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x) ようにすべてのためのnnn数sL（n ）sL（n）s_L(n)の長さの単語のnnnにおけるLLL式を満たす sL（n ）= p1（n ）λn1+ ⋯ + pk（n ）λnksL（n）=p1（n）λ1n+⋯+pk（n）λkns_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n。 どのスペースにλλ\lambda住んでいるか（CC\mathbb{C}、私は推測します）、および関数が全体で非負の整数値を持つ必要があるかどうかは述べられていませんNN\mathbb{N}。正確な声明と、証拠のスケッチまたはリファレンスをお願いします。 ボーナスの質問：逆は真ですか、つまり、この形式の関数が与えられた場合、長さあたりの単語数がこの関数に等しい通常の言語は常に存在しますか？ この質問は、通常の言語の単語数（00 ）∗（00）∗(00)^*

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2つの文字列与えられた場合、それらの連結のためにを記述します。文字列を考えるとと整数、我々は書くの連結のためののコピー。文字列が与えられると、この表記を使用して「圧縮」できます。つまり、はとして記述できます。レッツ・コールの体重圧縮そこに登場するキャラクタの数、重量のように、 2である、との重量（圧縮の）3であります（分けるS1,S2S1,S2S_1, S_2S1S2S1S2S_1S_2SSSk≥1k≥1k\geq 1(S)k=SS⋯S(S)k=SS⋯S(S)^k = SS\cdots SkkkSSSAABAABAABAABAABAAB((A)2B)2((A)2B)2((A)^2 B)^2((A)2B2)((A)2B2)((A)^2 B^2)(AB)2A(AB)2A(AB)^2 AABABAABABAABABAAAA単数または複数）は別々にカウントされます。 今、与えられた文字列の「最軽量」圧縮計算する問題を検討と。少し考えた後、正確なアプローチに応じてまたはで実行される明らかな動的プログラミングアプローチがあり。SSS|S|=n|S|=n|S|=nO(n3logn)O(n3log⁡n)O(n^3 \log n)O(n3)O(n3)O(n^3) ただし、この問題は時間で解決できると言われていますが、これを行う方法に関する情報源は見つかりません。具体的には、この問題は最近のプログラミングコンテスト（問題K ここ、最後の2ページ）で与えられました。分析中にアルゴリズムが提示され、最後に疑似2次境界が示されました（ここでは4分マーク）。悲しいことに、プレゼンターは「複雑な単語の組み合わせ補題」に言及しただけだったので、解決策を求めるためにここに来ました:-)O(n2logn)O(n2log⁡n)O(n^2 \log n)O(n3logn)O(n3log⁡n)O(n^3 \log n)

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文字列の数を数えたい sss 有限のアルファベット以上 AAA、それは繰り返しを含まず、それによって私は任意の部分文字列を意味します ttt の sss、 1&lt;|t|&lt;|s|1&lt;|t|&lt;|s|1< |t| < |s|、のばらばらのコピーはありません ttt に sss。例として、A={a,b}A={a,b}A=\{a,b\}。その後aaaaaaaaa ある部分文字列のため以来、私はカウントしたい文字列のいずれかaaaaaa、ばらばらのコピーはありません。しかしながら、abababababab そのような繰り返しが含まれています。 誰かがすでに有用な式を見つけている場合は、リンクしてください。それ以外の場合は、誰かの回答を使用する場合、私が書く記事でこの投稿を参照します。 別の例を示します。長い文字列を作成してみましょう{a,b}{a,b}\{a,b\}、繰り返しを含まない： aaa（aにすることはできません） aaab（aまたはb） aaabbb（bに することはできません） aaabbba（bまたはaにする ことはできません）aaaba（aまたはbにすることはできません） ツリーを構築した場合、ノードの数を数えることができますが、式が必要です。 編集： まあ、私たちがこれをビンを選択する問題に変換するかどうか最初に考えたほど難しくはありません。少なくとも1回の繰り返しを持つ長さkの文字列のセットは、デカルト積のすべての順列の和集合であるセットに等しくなります。 A×A×⋯×A(k-4 times)×R×RA×A×⋯×A(k-4 times)×R×RA \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R どこ RRR必要な繰り返しです。それが役に立ったかどうかはわかりませんが、プロのように聞こえます:)とにかく、| A |にしましょう ビン、繰り返しになる任意の2つ（同じものであっても）を選択し、次にk−4k−4k-4もっと増やして掛けます（最初の4つはすでに選択されています、参照してください？）。今、私は離散数学からその式を見つける必要があります。

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この質問は、高速なスペルチェッカーを構築するための効率的なデータ構造によって促されました。 2つの文字列が与えられた u,vu,vu,v、私たちは彼らがそうだと言います kkk-それらのダメラウ–レヴェンシュタイン距離 ¹が小さい場合、つまりLD(u,v)≥kLD⁡(u,v)≥k\operatorname{LD}(u,v) \geq k 固定の k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}。非公式に、LD(u,v)LD⁡(u,v)\operatorname{LD}(u,v) 変換に必要な削除、挿入、置換、および（隣接）スワップ操作の最小数です uuu に vvv。それはで計算することができますΘ(|u|⋅|v|)Θ(|u|⋅|v|)\Theta(|u|\cdot|v|)動的プログラミングによる。ご了承くださいLDLD\operatorname{LD}はメトリックであり、特に対称的です。 関心のある問題は次のとおりです。 セットを考える SSS の nnn ひも ΣΣ\Sigma 長さが最大 mmm、のカーディナリティは何ですか Sk:={w∈Σ∗∣∃v∈S. LD(v,w)≤k}Sk:={w∈Σ∗∣∃v∈S. LD⁡(v,w)≤k}\qquad \displaystyle S_k := \{ w \in \Sigma^* \mid \exists v \in S.\ \operatorname{LD}(v,w) \leq k \}？ 同じ長さの2つの弦でも数が異なるため kkk-closestrings²一般的な式/アプローチは見つけるのが難しい（不可能？）場合があります。したがって、所定の数ごとに明示的に数を計算する必要があるかもしれませんSSS、主な質問に私たちを導きます： セットのカーディナリティを見つけることの（時間）複雑さは何ですか {w}k{w}k\{w\}_k （任意） w∈Σ∗w∈Σ∗w \in …

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