すべての十分に大きい文字列には繰り返しがありますか？

ましょ固定サイズの文字のある有限集合とします。してみましょう超えるいくつかの文字列で。私たちは、空でない部分文字列と言うのある繰り返した場合に、一部の文字列のための。 $\Sigma$ $\alpha$ $\Sigma$ $\beta$ $\alpha$ $\beta = \gamma \gamma$ $\gamma$

さて、私の質問は以下が成り立つかどうかです。

すべてのために、いくつか存在する毎に文字列のようなオーバー少なくとも長さの、少なくとも一つの繰り返しが含まれています。 $\Sigma$ $n \in \mathbb{N}$ $\alpha$ $\Sigma$ $n$ $\alpha$

私はバイナリアルファベットでこれを確認しましたが、これはその場合には非常に簡単ですが、サイズ3のアルファベットはすでに確認するのがかなり難しいため、任意の大きな文法の証明が必要です。

上記の推測が当てはまる場合、他の質問で空の文字列を挿入する要求を（ほぼ）削除できます。

combinatorics strings word-combinatorics

— アレックス・テン・ブリンク
ソース

残念ながら、そうではありません。アルファベットに少なくとも3つの記号がある場合、無限の正方形のない単語もあります。

この一見自然な境界線（2要素のアルファベットには、正方形のない単語が有限数しかありません）は、多くの場所で見られます。たとえば：

の共同有限でありますのためではなく、文脈自由。 $\{xyyz \mid x,y,z\in \Sigma^+\}$ $|\Sigma|\leq 2$ $\Sigma>2$
端末のないパターンによって生成された言語のクラスは、次の場合に制限内で学習できますただし、そうでない場合 [ Reid2004 ]。 $|\Sigma|>3$ $|\Sigma|=2$

— ラファエル
ソース

くそー、その後、あまりにも悪いです：S

— アレックス10ブリンク