通常言語の単語数

ウィキペディアによると、任意の正規言語のために$L$が存在定数$\lambda_1,\ldots,\lambda_k$及び多項式$p_1(x),\ldots,p_k(x)$ようにすべてのための数長さのワードの満たす方程式$n$$s_L(n)$$n$$L$

$\qquad \displaystyle s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dots+p_k(n)\lambda_k^n$。

言語は正規です（一致します）。 IFF Nも、そしてあるそれ以外の場合。$L =\{ 0^{2n} \mid n \in\mathbb{N} \}$$(00)^*$$s_L(n) = 1$$s_L(n) = 0$

しかし、私はと見つけることができません（これらは存在する必要があります）。以下のよう微分可能である必要がありかつ一定ではないが、それは何らかの形で波のように動作する必要があります、と私はあなたがおそらくのように加数の無限の数で終わることなく、多項式、指数関数であることを行うことができますどのように見ることができませんテイラー展開。誰でも私を啓発できますか？$\lambda_i$$p_i$$s_L(n)$

あなたの言語では、、、、、および場合を取ることができます？ウィキペディアの記事では、係数が正または積分であることについては何も言及していません。私の選択の合計は$p_0(x) = 1/2$$\lambda_0 = 1$$p_1(x) = 1/2$$\lambda_1 = -1$$p_i(x) = \lambda_i = 0$$i > 1$

$\qquad \displaystyle 1/2 + 1/2(-1)^n = 1/2 (1 + (-1)^n)$

これは、偶数では1、奇数では0のようです。実際、帰納法による証明は簡単に思えます。$n$$n$

@ Patrick87はあなたの特定のケースに素晴らしい答えを与えます、私は既約DFAで表現できる任意の言語より一般的なケースでを見つける方法のヒントを与えると思いました（つまり、任意の状態から任意の状態に到達します）。言語はこのタイプです。$s_L(n)$$L$

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既約DFAの定理の証明

レッツあなたの遷移行列で -state DFAそれが既約であることから、行列は正常であり、完全な固有基底を持つ。してみましょう受け入れるベクトルである：すなわちは、が受け入れ状態の場合は1、それ以外の場合は0です。WLOGはが初期状態であると仮定し 、完全な固有基底があるため、一部の係数についてであることが（ことに注意してください）。$D$$m$$|\lambda_1\rangle ... |\lambda_m\rangle$$|A\rangle$$\langle i | A \rangle$$i$$|1\rangle$$|1\rangle = c_1|\lambda_1\rangle + ... + c_m|\lambda_m\rangle$$c_1 ... c_m$$c_i = \langle \lambda_i | i \rangle$

$D$$D|1\rangle$$D^2|1\rangle$$|x\rangle$$\langle A|x\rangle$$|x\rangle$

$$\begin{align} s_L(n) & = \langle A |D^n| 1 \rangle \\ & =\langle A | D^n (c_1 |\lambda_1\rangle ... c_m |\lambda_m\rangle) \\ & = c_1 \lambda_1^n \langle A | \lambda_1 \rangle + ... + c_m \lambda_m^n \langle A | \lambda_m \rangle \\ & = \langle A | \lambda_1 \rangle\langle\lambda_1|1\rangle \lambda_1^n + ... + \langle A | \lambda_m \rangle\langle \lambda_m | 1 \rangle \lambda_m^n \\ & = p_1\lambda_1^n + ... + p_m \lambda_m^m \end{align}$$

$p_1 ... p_m$$\lambda_1 ... \lambda_m$

一般性メモ

$D$$\lambda$

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特定の質問への適用

$L$

$$D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

ベクトルを受け入れます。

$$A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$\lambda_1 = 1$$| \lambda_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$\lambda_2 = -1$$| \lambda_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$p_1 = 1/2$$p_2 = 1/2$

$$s_L(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(-1)^n$$

Artemの答えを続けて、ここに一般的な表現の証拠があります。Artemが示すように、ような整数行列と2つのベクトルがあり （ベクトルは開始状態の特性ベクトルであり、ベクトルはすべての受け入れ状態の特性ベクトルであり、は言語のDFAの状態から状態への遷移の数に等しい。 ）$A$$x,y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$ $x$$y$$A_{ij}$$i$$j$

ジョーダンの定理は、複素数は、のいずれかの形式のブロックを持つ行列に似ていると 述べています。 場合次に、これらのブロックの力は $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$ $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ ここでは、我々が得た方法ですこれらの式に対して：としてブロックを記述します。連続した累乗は、行列の連続する2次対角線です。$B = \lambda + N$$N$$\lambda$$N$ $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ 場合、ブロックはベキ零であり、我々は（表記法以下の行列を取得あるであればとそれ以外）： $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

、内のすべてのエントリまとめのいずれかの形式であるまたはフォームの、我々は推論すること いくつかの複雑なためと複合多項式。特に、十分に大きい、 $A^n$[N=K]SL（N）=ΣIPI（N）λI（N）+ΣJCJ[N=J]、λI、CJPINSL（n）=∑ipi（n$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i(n) + \sum_j c_j [n=j],$$ $\lambda_i,c_j$$p_i$$n$ $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i(n).$$