3部グラフでのチーム構築

政府は、1 人の錬金術師、1人のビルダー、1人のコンピューター科学者で構成されるチームを作りたいと考えています。

良好な協力を得るためには、3人のチームメンバーがお互いを好むことが重要です。

したがって、政府は各専門職の人の候補者を集め、「好み」のグラフを作成します。間にエッジがある場合、これは、三分かれたグラフであり、そしてときに限り好き。$k$$a$$b$$a$$b$

（次の場合の関係、すなわち、対称でなく推移はない「ように」という注意好き、次に好きだが、場合好き及び好き必ずしも次に、好き。）$a$$b$$b$$a$$a$$b$$b$$c$$a$$c$

チームを作成することは常に可能ですか？もちろん違います。たとえば、錬金術師がビルダーを好きではない可能性があります。

ただし、「好きな」グラフに次のプロパティがあるとします。3人の錬金術師と3人のビルダーの各グループには、互いに似ている少なくとも1つの錬金術師とビルダーのペアがあります。錬金術師-コンピューター論者とビルダー-コンピューター論者のための同上。

この特性を考えると、3人のメンバー全員がお互いを好きなチームを作成することは常に可能ですか？もしそうなら、政府が収集しなければならないであろう各タイプ（）の候補者の最小数はいくつですか？$k$

kを見つけ、それが最小であることを証明したいと思います。

関連する可能性のあるサブ質問は次のとおりです錬金術師とビルダーのグループで、お互いに好きなペアの最小数はいくつですか？以下のため、質問の前提で、その数は1どの程度である？$k$$k$$k=3$$k>3$

3番目の質問は、この種の問題の名前は何ですか？

これまでの要約（CWとして）。

Yuval Filmusは、この問題をより一般的な用語で言い換えました。

（各パーティションに個の頂点がある完全な3部グラフ）のエッジのすべての赤/青の色に対して、赤い三角形または青いような最小のは何ですか？？$k$$K_{k,k,k}$$k$$K_{3,3}$

Erelは、の下限が少なくとも5であることを証明し、次にあるSAT公式を使用しました。$k$$k \ge 8$

fraflは、の上限が最大で15であることを示しました。Aravindは、より良い上限のための素晴らしい議論をスケッチしました。$k$

ここにアラヴィンドの議論のより詳細な形式があります。

頂点場合パーティションにおける赤色接続3つの頂点にあるパーティションにと3つの頂点パーティションに、次いで赤色含む三角形のいずれかでありのそれぞれから一つの頂点をと、またはそうでなければは青い誘導します。したがって、頂点の両方の隣接パーティションに、赤で接続された隣接を2つ以上持つことはできません。$u$$A$$S$$B$$T$$C$$u$$S$$T$$S\cup T$$K_{3,3}$

したがって、すべての頂点は、その隣接パーティションの少なくとも1つに少なくとも青で接続された隣接ノードを持っています。LETの頂点である少なくとも有するで青接続隣人、そしてでそれらの頂点である少なくとも有するで青接続隣人。あることに注意してください。が空でない場合、以降、色を切り替えると矛盾が生じます。したがって、とが互いに素であると仮定します。実際、各頂点$k-2$$S$$A$$k-2$$B$$T$$A$$k-2$$C$$A = S\cup T$$S\cap T$$k\ge 5$$S$$T$$S$でなければならないで高々 2つの頂点に青色接続（SO少なくとも赤接続の頂点）、及び各頂点なければならないで高々 2つの頂点に青色接続（赤色は、接続されました少なくとも頂点に）。$C$$k-2$$C$$T$$B$$k-2$$C$

ここでなので、一般性を失うことなく、に少なくとも3つの頂点を持つサブセットが含まれていると仮定します。それらはそれぞれ少なくとも頂点に青で接続されているため、これらの近傍には少なくとも頂点との共通の交差が必要です。場合、その後、少なくとも3つの頂点を含むように、青色誘導。$k \ge 6$$S$$S'$$k-2$$B$$U$$k-6$$k\ge 9$$U$$S'\cup U$$K_{3,3}$

これは、が常に条件を満たすのに十分であることを示しています。したがって、9は目的の数量の上限です。$k\ge 9$

残っているのは、反例（目的の数量が9であることを示す）を示すか、で常に赤い三角形または青い（これは、 8）と表示されます。$k=8$$k=8$$K_{3,3}$

上側の第1の質問に結合している：一連の取り、S、 Sと s。のうち最大で2 つはの間にネイバーを持たないことがわかっています。それ以外の場合は、禁止されている補集合が見つかりました。同じことが成り立つsおよび sの。したがって、両方のセットの間にネイバーを持つ1つのが必要です。これらの隣人をおよびと呼びます$k\leq 15$$5$ $a$$A=\{a_1,\dots,a_5\}$$5$ $b$$B_1=\{b_1,\dots,b_5\}$$5$ $c$$C_1=\{c_1,\dots,c_5\}$$a$$B$$K_{3,3}$$a$$c$$a_1'$$b_1'$$c_1'$ それぞれ。

次に、セットを修正し、 sと sのセットの組のペアを検討し、 および ととを選択し、両方が同じ（上記の観測ですべて存在する）の隣人になるようにします。$A$$10$$b$$c$$(B_i,C_i)_{i\in\{2,\dots,11\}}$

これで、少なくとも 組のセットが鳩の巣の原理によって同じ一致します。つまり、であるとペアごとに異なるがあり。これで、とは、の近傍にます。したがって、一部ののセットは、三角形の友人を誘導します。$3$$a$$a_l\in A$$m_1,m_2,m_3 \in \{1,\dots,11\}$$a_l = a_{m_1}' = a_{m_2}' = a_{m_3}'$$b_{m_p}'$$c_{m_p}'$$a_l$$p\in\{1,\dots,3\}$$p,p'\in \{1,2,3\}$$\{a_l,b_{m_p}',c_{m_{p'}}'\}$

AndrásSalamonのコメントに続いて、私の質問をSATの問題として扱うことにしました。職業ごとの候補者の数（）を入力として受け取り、2つのトリプル間のエッジを含むが、職業ごとのkの候補者を含むグラフを定義するCNF式を生成するJavascriptアプリケーションを作成しましたが、三角形は含まれていません候補者。$k$

その式が満たされる場合、は小さすぎて、常に実行可能なチームが存在することを保証できません。その公式が満たされない場合、常に実行可能なチームが存在するため、は十分に大きいことを意味します。$k$$k$

MiniSAT入力ファイルを作成しました。以下のために、においてMiniSATは、それが（すなわちkが小さすぎる）充足可能であることを言って、秒未満で返さ。これは見つかった割り当てMiniSATです。これは、8が必要な候補の数の下限であることを意味します（前の回答で見つけた7の下限よりも優れています）。$k=3..8$$k<=7$$k=7$

以下のため、私は数分前においてMiniSATを開始し、それはまだ実行されています。入力ファイルには、 192通の変数と9920句が含まれています。完了するまでにどれくらいの時間がかかるかわかりません。$k=8$

計算が遅いことに基づいて（そして実装にバグがないと仮定して）、8つまたは多くても9つの候補で十分であると推測します。しかし、私はまだMiniSATの発言を待っています。

これが現在の出力です：

============================[ Problem Statistics ]=============================
|                                                                             |
|  Number of variables:           192                                         |
|  Number of clauses:            9920                                         |
|  Parse time:                   0.01 s                                       |
|  Simplification time:          0.03 s                                       |
|                                                                             |
============================[ Search Statistics ]==============================
| Conflicts |          ORIGINAL         |          LEARNT          | Progress |
|           |    Vars  Clauses Literals |    Limit  Clauses Lit/Cl |          |
===============================================================================
|       100 |     192     9920    86208 |     3637      100     16 |  0.003 % |
|       250 |     192     9920    86208 |     4001      250     22 |  0.003 % |
|       475 |     192     9920    86208 |     4401      475     25 |  0.003 % |
|       812 |     192     9920    86208 |     4841      812     29 |  0.003 % |
|      1318 |     192     9920    86208 |     5325     1318     31 |  0.003 % |
|      2077 |     192     9920    86208 |     5857     2077     32 |  0.003 % |
|      3216 |     192     9920    86208 |     6443     3216     35 |  0.003 % |
|      4924 |     192     9920    86208 |     7088     4924     34 |  0.003 % |
|      7486 |     192     9920    86208 |     7796     3907     35 |  0.003 % |
|     11330 |     192     9920    86208 |     8576     7751     36 |  0.003 % |
|     17096 |     192     9920    86208 |     9434     4866     39 |  0.003 % |
|     25745 |     192     9920    86208 |    10377     8762     36 |  0.003 % |
|     38719 |     192     9920    86208 |    11415     6081     39 |  0.003 % |
|     58180 |     192     9920    86208 |    12557     8338     35 |  0.003 % |
|     87372 |     192     9920    86208 |    13812    12272     37 |  0.003 % |
|    131161 |     192     9920    86208 |    15194     7495     36 |  0.003 % |
|    196845 |     192     9920    86208 |    16713    12107     38 |  0.003 % |
|    295371 |     192     9920    86208 |    18384     9989     32 |  0.003 % |
|    443160 |     192     9920    86208 |    20223    10152     40 |  0.003 % |
|    664843 |     192     9920    86208 |    22245    18854     37 |  0.003 % |
|    997368 |     192     9920    86208 |    24470    15595     40 |  0.003 % |
|   1496156 |     192     9920    86208 |    26917    15102     34 |  0.003 % |
|   2244338 |     192     9920    86208 |    29608    19091     42 |  0.003 % |
|   3366612 |     192     9920    86208 |    32569    16905     35 |  0.003 % |
|   5050023 |     192     9920    86208 |    35826    21640     37 |  0.003 % |
|   7575139 |     192     9920    86208 |    39409    34856     39 |  0.003 % |
|  11362814 |     192     9920    86208 |    43350    20735     38 |  0.003 % |
|  17044326 |     192     9920    86208 |    47685    35456     42 |  0.003 % |
|  25566595 |     192     9920    86208 |    52453    43639     34 |  0.003 % |
|  38349998 |     192     9920    86208 |    57699    48290     42 |  0.003 % |
|  57525103 |     192     9920    86208 |    63469    22810     40 |  0.003 % |
|  86287761 |     192     9920    86208 |    69816    55424     36 |  0.003 % |
| 129431749 |     192     9920    86208 |    76797    69548     43 |  0.003 % |

さらに4時間経過しても結果は得られません：

| 194147731 |     192     9920    86208 |    84477    67509     38 |  0.003 % |
| 291221704 |     192     9920    86208 |    92925    61375     34 |  0.003 % |

9の上限：

Yuval Filmusの特性を使用しています。

Aの頂点にBとCの両方に少なくとも3つの赤い隣接があると仮定します。次に、2つの隣接セットに赤いエッジがあり、その結果赤い三角形になるか、青います。$K_{3,3}$

したがって、k> = 6の場合、Aに3つの頂点があり、それぞれにBに最大2つの赤い隣接点があることを取得します（wlog- in B）。したがって、これらの3つの頂点には、少なくともk-6の青い隣接点が共通している必要があります。場合、青いを取得します。$k \geq 9$$K_{3,3}$

下限として、これは各職業の5人の候補者では不十分であることの証明です。あるとします$n=5$ 番号付きの候補者 $i=0..4$、次の関係で：

• 錬金術師 $i$ ビルダーが好き $i$
• ビルダー $i$ コンピューター奏者が好き $i$
• 情報学者 $i$ 錬金術師が好き $(i+1)\ mod\ n$。

ピジョンホールの原則では、3人の錬金術師と3人のビルダーのすべてのグループに、互いに好きなペアが少なくとも1つあります（他の職業では同じです）。ただし、グラフ全体は長さ15の単一の円であり、長さ3の円はありません。

構造はのために拡張することができます $n=6$、次の大きな円を追加します。

• $A[i]$ 好き $B[(i+1)\ mod\ n]$
• $B[i]$ 好き $C[(i+1)\ mod\ n]$
• $C[i]$ 好き $A[(i+2)\ mod\ n]$

残念ながら、構造は動作しません $n>6$。この下限とfraflの上限の15の間には、まだ大きなギャップがあります。