XORカットセット構造、および組み合わせデザイン

グラフと頂点のサブセット与えられた場合、 =の頂点と頂点を接続するエッジのセットを定義します。$G(V,E)$$T \subseteq V$$\mathsf{cutset}(T)$$T$$V\setminus T$

私たちの目標は、任意のセット与えられたときにでエッジをすばやく返すか、が空であると応答できるようにを前処理することです。構造はスペースの複雑さを持つ必要があります。つまり、すべてのエッジを保持することはできません。クエリの複雑さはます。$G$$T$$\mathsf{cutset}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$$\widetilde{O}(|V|)$$\widetilde{O}(|T|)$

Kapronらは、各カットセットのサイズが最大で1の場合に機能する、次の適切なソリューションを提案しています。

各エッジに一意の番号を付けます。各頂点について、 -隣接するすべてのエッジの数のバイナリXORを保持します。上のクエリ所与、計算 -の内部にあるT.すべてのエッジにおけるすべての頂点のバイナリXOR（すなわち、内部の両方のエンドポイント有する）を2回XOR演算され、それゆえに含まれていません。したがって、は実際にはのすべてのエッジのXORです。$v$$\mathsf{xor}(v)$$T$$\mathsf{xor}(T)$$T$$T$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$

各カットセットのサイズが最大1の場合、2つのオプションがあります。は、が空であること、またははの単一エッジの数です。$\mathsf{xor}(T)=0$$\mathsf{cutset}(T)$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$

次に、著者はに複数のエッジが含まれている場合を処理するために、複雑でランダム化された構造について説明します。$\mathsf{cutset}(T)$

しかし結論として、彼らはこう言っています：

ここで説明する手法は、カットのサイズが以下であることがわかっている場合、組み合わせを使用することにより、更新時間に追加の係数を使用して決定論的にできることを理解するのは難しくありません。デザイン」。$\widetilde{O}(k)$$k$

残念ながら、私にとってこれは難しいようです...わかりません：すべてのカットセットのサイズが最大でであるときに、組み合わせ設計を使用して問題を解決するにはどうすればよいですか？$k$

距離が程度の線形コードを使用できます。コードのパリティチェック行列には、最大で列の任意のセットのXOR が非ゼロであるという特性があります。これは、特に、最大で列のXORが与えられた場合、XORされた列のを決定できる（必ずしも効率的ではない）（XORする最大列のセットを取得できなかったため）ゼロに）。このエンコーディングのコストは、パリティチェック行列の行数です。パラメーターを正しく選択し、効率的にデコード可能なコードを選択した場合（コードのパリティチェック行列はそのデュアルの生成行列であることを思い出してください）、おそらく備考に記載されている結論が得られます。$2k$$2k-1$$k$$2k-1$