ラムジーの定理の証明：グラフ内のクリークまたは反クリークの数

ラムジーの定理は、 $n$ ノードには、少なくともクリークまたは独立したセットが含まれています $\frac{1}{2}\log_2 n$ ノード。

いくつかの場所（Sipserを含む）で調べようとしましたが、証明から多くの意味を理解することができませんでした。誰かがこれについて証拠（または明確な直感）を提供してくれれば幸いです。

しましょう $R(s,t)$ 最小の整数である $k$ そのようなすべてのグラフ $k$ 以上の頂点に次のいずれかが含まれています $s$-クリークまたは独立した一連のサイズ $t.$

この数は明確に定義されており（ラムジー数と呼ばれます）、質問のステートメントは単に

$$R(t,t) \leq 2^{2t}.$$

ラムジー数のよく知られた上限は、

$$R(s,t) \leq R(s,t-1)+R(s-1,t) \leq {s+t-2 \choose t-1} \; \; \; (1)$$ 場合、次いで、上記に低減中央二項係数より小さい常に$s = t$ ${2t-2 \choose t-1}$$2^{2t}$

を証明するには、帰納法を使用できます。誘導ベース残しあなたは私たちが不平等が全て成立すると仮定してみましょうための練習としてとlet持つグラフとする頂点。$(1)$$s+t$$R(1,t), R(s,1)$$s+t < k$$G$$R(s,t-1)+R(s-1,t)$

ましょう任意の頂点であるとパーティション二つのグループにグラフの残りの頂点と隣接するもの-とと隣接していないもの今のでにはいずれかがあります最初の不等式が満たされた場合、によって誘導されたグラフにはクリークが含まれるか、によって誘導されたグラフにはサイズ独立したセットが含まれます特に、この場合、は含むことを意味します。$v$$G$$A,N$$v$$v.$

$$|A|+|N|+1 = R(s,t-1)+R(s-1,t)$$ $$|N| \geq R(s,t-1) \quad \mbox{ or} \quad |A| \geq R(s-1,t).$$ $N$$s$$N \cup \{v\}$$t.$$G$$s$-クリークまたはサイズ独立したセット2番目のケースは同様に検証され、指定された境界の最初の部分を確立します。最後の部分では、$t.$ $${s+t-3 \choose s-1} + {s+t-3 \choose s-2} = {s+t-2 \choose s-1}.$$