グラフ展開とコンダクタンスの関係

グラフの展開とコンダクタンスの正確な関係について、私はかなり混乱しています。私の最初の質問は：

• 誰かが私にこれらの両方の概念を論じている参照を指摘することができますか？（私は関連トピックについてさまざまな講義ノートを見つけましたが、これらは拡張またはコンダクタンスのいずれかに焦点を当てているようです...）

の拡大を読んだ $G$ ランダムウォークの混合速度の尺度です $G$、つまり、定常分布に近づくための時間。のために$d$-一定の膨張を伴う正則グラフ。たとえば、混合時間は $\Theta(\log n)$。同じことがコンダクタンスにも当てはまるようです$\Phi(G)$、つまり、 $\Phi(G)$ 一定であり、次にランダムウォーク $G$ も混ざります $\Theta(\log n)$時間。さらに、このコンダクタンスの特性は、非正則グラフにも当てはまります。$d$-正則グラフの展開 $G$ のコンダクタンスを単純に除算することで見つけることができます $G$ 沿って $d$。これは次の質問をします：

• グラフの拡張を考慮する必要があるのはなぜですか $G$、コンダクタンスがより強力な尺度であると思われる場合（拡張を含む）？

グラフの展開にはいくつかの異なる定義がありますが、それらはすべて空間的です。一つの一般的な定義は拡張を定義しました$h(G)$ グラフの $G$ なので

$$h(G) = \min_{|S| \leq |G|/2} \frac{|\partial S|}{|S|},$$ ここで、頂点のほとんど半分で含有する頂点の集合であり、ある（エッジ）境界の、接続するエッジの数に。以下のために -regular連結グラフ、の間に強い関連があるとスペクトルパラメータ、固有値ギャップラプラシアンの最小非ゼロの固有値です。用、-regular連結グラフCheegerの不等式その状態が $S$$\partial S$$S$$S$$\overline{S}$$d$$h(G)$ $\lambda(G)$$d$ $$\frac{\lambda(G)}{2} \leq h(G) \leq \sqrt{2d\lambda(G)}.$$ これは、の隣接行列の2番目に大きい固有値で表現されることが多く、を満たします。非正規グラフにはCheegerの不等式のバージョンが存在する必要があります。それらを調べてみましょう。$\lambda_2(G)$$G$$\lambda_2(G) = d - \lambda(G)$

エキスパンダーグラフに関する多くの情報は、調査（コースノートに基づく）で見つけることができます。Hoori、Linial、およびWigdersonによるエキスパンダーグラフとそのアプリケーション。その他の情報は、講義ノートや最近の論文にも散在しています。