セットパッキングと同様の問題

セットのファミリーに電話する $\mathcal{F} = \{S_1, \dotsc, S_k\}$ 各セットの場合「多様」 $S_i \in \mathcal{F}$少なくとも1つの一意の要素があります。最大の多様なセットを見つけるための可能なアプローチは何ですか$S$ セットの家族で $\mathcal{F}$？

1つのアプローチは、変更されたセットパッキング問題を解決することです。と思います$\mathcal{F}=\{S_1,\dotsc,S_k\}$。しましょう$K$ 要素のサブセットである $K \subset \bigcup S_i$、そして $\mathcal{F}_{-K}=\{S_1 \setminus K,\dotsc, S_k \setminus K\}$。次に、最大多様セット$S$ から得られる最大の最大集合パッキングに対応 $\mathcal{F}_{-L}$ どこ $L$ のすべての非固有要素のセットです $\mathcal{F}$。

しかし、選択するための良いヒューリスティックは何ですか $K$？それとも、より良いアプローチがありますか？

問題はNP完全です。これにより、すべての状況で機能する正確なアルゴリズムは除外されますが、実際に適切に機能するヒューリスティックアルゴリズム、または証明可能な近似が保証されている近似アルゴリズムは除外されません。

3SATからの削減です。3SATインスタンスがある場合$\phi$ 変数あり $x_1,\ldots,x_n$ と条項 $\phi_1,\ldots,\phi_m$、以下のセットシステムを構築します。各変数について$x_i$ 2セットあります $A_{i,0}$ そして $A_{i,1}$ そして $N=n+1$ セット $B_{i,t} = \{\beta_{i,t,0},\beta_{i,t,1}\}$、および各句 $\phi_j$ セットがあります $C_j = \{\gamma_{j,1},\gamma_{j,2},\gamma_{j,3}\}$。セット$A_{i,b}$ 次の要素で構成されています。

• の $N+1$ 要素 $\alpha_i,\beta_{i,1,b},\ldots,\beta_{i,N,b}$。
• 各条項について $\phi_j$ 含む $x_i$ として $k$第リテラルとされていないことで満足$x_i = b$、要素 $\gamma_{j,k}$。

見つけることができます $n(N+1)+m$ 多様なセットは $\phi$満足です。確かに、満足のいく割り当てが与えられた$\vec{x}$、 家族 $\{ A_i^{x_i} : i \in [n] \} \cup \{ B_{i,t} : i \in [n], t \in [N] \} \cup \{ C_j : j \in [m] \}$ 多様です： $\alpha_i$ のみに属します $A_i^{x_i}$、 $\beta_{i,t,1-x_i}$ のみに属します $B_{i,t}$、そして $k$のリテラル $\phi_j$ 次に満足しています $\gamma_{j,k}$ のみに属します $C_j$。

逆の場合は、 $\mathcal{S} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}$ 少なくともサイズの多様な家族です $n(N+1)+m$、セットのタイプに応じて分割されます。もし$\mathcal{A}$ 両方を含む $A_{i,0}$ そして $A_{i,1}$ いくつかのための $i$、その後 $B_{i,1},\ldots,B_{i,N} \notin \mathcal{B}$。したがって$|\mathcal{S}| \leq 2n + (n-1)N + m < n(N+1) + m$、それは不可能です。したがって$\mathcal{B}$ そして $\mathcal{C}$ 対応するタイプのすべてのセットを含む必要があります。 $\mathcal{A}$ 含まれている必要があります $n$ セット、割り当てを一緒にエンコードする $\vec{x}$。以来$C_j \in \mathcal{S}$ 多様で、構造によって割り当て $\vec{x}$ 句を満たす $\phi_j$したがって、 $\phi$ 満足です。