最小の指数分布のための最尤推定量
私はこの問題を解決する方法にこだわっています。 したがって、ランダム変数の2つのシーケンス、およびがあります。現在、とは、パラメータと持つ独立した指数分布です。ただし、とを観測する代わりに、とを観測し。、Y I、I = 1 、。。。、nはX Y λ μ X Y Z WXiXiX_iYiYiY_ii=1,...,ni=1,...,ni=1,...,nXXXYYYλλ\lambdaμμ\muXXXYYYZZZWWW Z=min(Xi,Yi)Z=min(Xi,Yi)Z=\min(X_i,Y_i)及びW=1W=1W=1であればZi=XiZi=XiZ_i=X_iと0の場合Zi=YiZi=YiZ_i=Y_i。ZとWに基づいてλλ\lambdaと\ muの最尤推定量の閉形式を見つける必要があります。さらに、これらがグローバルな最大値であることを示す必要があります。μμ\muZZZWWW これで、2つの独立した指数の最小値自体が指数であり、レートはレートの合計に等しいため、ZZZがパラメーター\ lambda + \ muで指数関数であることがわかりますλ+μλ+μ\lambda+\mu。したがって、最尤推定量はλ^+μ^=Z¯λ^+μ^=Z¯\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}です。 しかし、私はここからどこへ行くべきか悩んでいます。WWWがパラメーターp = P（Z_i = X_i）のベルヌーイ分布であることは知っていますが、p=P(Zi=Xi)p=P(Zi=Xi)p=P(Z_i=X_i)これをパラメーターの1つに関するステートメントに変換する方法がわかりません。たとえば、MLEのW¯W¯\bar{W}はλλ\lambdaや\ muの観点から何を推定するμμ\muでしょうか？私は理解しているかのZi=XiZi=XiZ_i=X_i、その後、μ=0μ=0\mu=0が、私はここで、任意の代数の文を思い付く方法を考え出す苦労しています。 更新1：ZZZとWの共同分布の可能性を導き出すようコメントで言われましたWWW。 したがって、 whereです。正しい？この場合、とは独立していないため、共同分布を導出する他の方法がわかりません。f(Z,W)=f(Z|W=1)⋅p+f(Z|W=0)⋅(1−p)f(Z,W)=f(Z|W=1)⋅p+f(Z|W=0)⋅(1−p)f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)p=P(Zi=Xi)p=P(Zi=Xi)p=P(Z_i=X_i)ZZZWWW したがって、これは、上記のの定義により、を与えます。しかし、今何ですか？これではどこにも行けません。可能性を計算する手順を実行すると、次のようになります（混合物の各部分のサンプルサイズとしてとを使用...）f(Zi,Wi)=pλe−λzi+(1−p)μe−μzif(Zi,Wi)=pλe−λzi+(1−p)μe−μzif(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}WWWmmmnnn L(λ,μ)=pmλme−λ∑zi+(1−p)nμne−μ∑ziL(λ,μ)=pmλme−λ∑zi+(1−p)nμne−μ∑ziL(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}} logL=mlogp+mlogλ−λ∑zi+nlog(1−p)+nlogμ−μ∑zilogL=mlogp+mlogλ−λ∑zi+nlog(1−p)+nlogμ−μ∑zi\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i} 偏微分をとると、これはと MLE推定が条件とするの平均にすぎないことを示してます。あれは、λλ\lambdaμμ\muZZZWWW λ^=∑Zimλ^=∑Zim\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m} μ^=∑Zinμ^=∑Zin\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n} …