二項確率変数とポアソン確率変数の合計

我々は、2つの独立した確率変数がある場合は及びX 2〜P 、O 、I S（λに）、の確率質量関数ものであるX 1 + X 2は？$X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$$X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$$X_1 + X_2$

NBこれは私にとって宿題ではありません。

$p_{X_1+X_2}(k)$$0 \leq k < n$$k \geq n$$\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$$\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$$p_{X_1+X_2}(k)$$z^k$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$$

Dilip Sarwateは7年前に、簡略化は不可能であると述べましたが、コメントでは異議を唱えています。ただし、単純化しなくても、スプレッドシートやプログラミング言語での計算は非常に簡単であることに注意してください。

Rでの実装は次のとおりです。

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]