最小の指数分布のための最尤推定量

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私はこの問題を解決する方法にこだわっています。

したがって、ランダム変数の2つのシーケンス、およびがあります。現在、とは、パラメータと持つ独立した指数分布です。ただし、とを観測する代わりに、とを観測し。 $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ 及び $W=1$ であれば $Z_i=X_i$ と0の場合 $Z_i=Y_i$ 。と基づいて $\lambda$ との最尤推定量の閉形式を見つける必要があり。さらに、これらがグローバルな最大値であることを示す必要があります。 $\mu$ $Z$ $W$

これで、2つの独立した指数の最小値自体が指数であり、レートはレートの合計に等しいため、 $Z$ がパラメーター指数関数であることがわかります $\lambda+\mu$ 。したがって、最尤推定量は $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ です。

しかし、私はここからどこへ行くべきか悩んでいます。 $W$ がパラメーターベルヌーイ分布であることは知っていが、 $p=P(Z_i=X_i)$ これをパラメーターの1つに関するステートメントに変換する方法がわかりません。たとえば、MLEの $\bar{W}$ は $\lambda$ や観点から何を推定する $\mu$ でしょうか？私は理解しているかの $Z_i=X_i$ 、その後、 $\mu=0$ が、私はここで、任意の代数の文を思い付く方法を考え出す苦労しています。

更新1： $Z$ と共同分布の可能性を導き出すようコメントで言われました $W$ 。

したがって、 whereです。正しい？この場合、とは独立していないため、共同分布を導出する他の方法がわかりません。 $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

したがって、これは、上記のの定義により、を与えます。しかし、今何ですか？これではどこにも行けません。可能性を計算する手順を実行すると、次のようになります（混合物の各部分のサンプルサイズとしてとを使用...） $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

偏微分をとると、これはと MLE推定が条件とするの平均にすぎないことを示してます。あれは、 $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

そして

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

self-study maximum-likelihood exponential minimum

— ライアン・シモンズ
ソース

1

今日同様のMLE質問に回答したばかりですが、いくつかのアイデアについてその解決策を紹介できますか？質問間の関係は、データが2つの互いに素なグループに自然に分割されるということです：グループとグループ。という形式の観測の可能性を書き留めることがすべてです。と、つまりとの対称性は、形式のデータの可能性を即座に生成し、それからオフで実行されます。

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

急いで最大の可能性を書いてはいけません！最初に、の結合分布を表現し、次にのサンプルに関連付けられた尤度を推定します。これは、指数の仮定により偶然に閉じた形になります。その場合にのみ、関数を最大化して、最大の可能性を導き出すことができます。

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— 西安

@whuber：（+1）それは確かにかなり単純であり、と間の分離を含みますが、両方のグループは両方のに関する情報をもたらすため、と両方を含みますそしてので、。

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— 西安

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@ Xi'anそうです-両方のグループが共通のパラメーター（スケール）に関する情報を提供するため、リンクを保持するためにリンクしている通常の理論の例との類似点があり、その推定には「プーリング」データが含まれます。グループから。ここで、は、（のレート、または逆スケール）の推定値が、と別々の推定値にどのように配分されるかを示していることがわかります。

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

私は他のスレッドwhuberを読みましたが、この例にそれを適用する方法を正直に理解していません。ZとWは独立していないので、どのようにして共同分布を導出できますか？

— Ryan Simmons

回答:

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コメントするのに十分なポイントがないので、ここに書きます。以下の点を考慮すれば、投稿した問題は生存分析の観点から見ることができると思います。

$X_i$ ：真の生存時間、

$Y_i$ ：打ち切り時間、

どちらも、と独立した指数分布です。次に、は観測された生存時間であり、は打ち切り指標です。 $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

生存分析に精通している場合は、この時点から始めることができると思います。

注：良い情報源：DRCoxとD.Oakesによる生存データの分析

以下に例を示します。生存時間分布のpdfがと仮定します。次に、生存関数はです。そして、対数尤度は次のとおりです。 $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

検閲されていない人々（）と検閲された人々（）をそれぞれ合計した $u$ $c$

事実による：H（t）はハザード関数であり、これは書くことができます。 $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

最尤推定のです。 $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ ここで、はケースの $d$ $W_i=1$

— ジュジェ
ソース

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