確率不等式
無制限のランダム変数の合計の確率不等式を探しています。誰かが私にいくつかの考えを提供できるなら、本当に感謝しています。 私の問題は、実際には2つのiidガウスの乗算である無制限のiid確率変数の合計が特定の値、つまりを超える確率に関する指数の上限を見つけることです。、、とからIIDが生成される。Pr[X≥ϵσ2N]≤exp(?)Pr[X≥ϵσ2N]≤exp(?)\mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] \leq \exp(?)X=∑Ni=1wiviX=∑i=1NwiviX = \sum_{i=1}^{N} w_iv_iwiwiw_iviviv_iN(0,σ)N(0,σ)\mathcal{N}(0, \sigma) モーメント生成関数（MGF）を使用してChernoff境界を使用しようとしましたが、派生境界は次のようになります。 Pr[X≥ϵσ2N]≤=minsexp(−sϵσ2N)gX(s)exp(−N2(1+4ϵ2−−−−−−√−1+log(1+4ϵ2−−−−−−√−1)−log(2ϵ2)))Pr[X≥ϵσ2N]≤minsexp(−sϵσ2N)gX(s)=exp(−N2(1+4ϵ2−1+log(1+4ϵ2−1)−log(2ϵ2)))\begin{eqnarray} \mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] &\leq& \min\limits_s \exp(-s\epsilon\sigma^2 N)g_X(s) \\ &=& \exp\left(-\frac{N}{2}\left(\sqrt{1+4\epsilon^2} -1 + \log(\sqrt{1+4\epsilon^2}-1) - \log(2\epsilon^2)\right)\right) \end{eqnarray} ここで、gX(s)=(11−σ4s2)N2gX(s)=(11−σ4s2)N2g_X(s) = \left(\frac{1}{1-\sigma^4 s^2}\right)^{\frac{N}{2}}はXのMGFですXXX。しかし、限界はそれほど厳しくありません。私の問題の主な問題は、ランダム変数が制限されていないことであり、残念ながら、ヘフディング不等式の境界を使用することはできません。 あなたが私にいくつかのきつい指数関数的境界を見つけるのを手伝ってくれれば幸いです。