モンティホールの問題-私たちの直観はどこで失敗しますか？

ウィキペディアから：

ゲームショーに参加していて、3つのドアを選択できるとします。1つのドアの後ろは車です。他の山羊の後ろに。1番と言うドアを選び、ドアの後ろに何があるかを知っているホストが、ヤギがいる3番と言う別のドアを開きます。彼はあなたに、「2番のドアを選びたいですか？」と言います。あなたの選択を切り替えることはあなたにとって有利ですか？

もちろん、答えはイエスです-しかし、それは信じられないほど非直感的です。ほとんどの人は、私たちが頭をかきむしにつながる確率について、どのような誤解を持っていますか？直観をよりよく訓練するために、このパズルからどのような一般的な規則を取り除くことができますか？

問題の2つの単純なバリエーションを検討してください。

1. 出場者にはドアが開かれていません。ホストはドアを選ぶ際に助けを提供しません。この場合、正しいドアを選ぶ確率は1/3であることは明らかです。
2. 競技者が推測を冒険するように頼まれる前に、ホストはドアを開けてヤギを明らかにします。ホストがヤギを明らかにした後、競技者は残りの2つのドアから車を選ぶ必要があります。この場合、正しいドアを選ぶ確率は1/2であることは明らかです。

出場者が自分のドアの選択が正しい確率を知るためには、彼が利用できる肯定的な結果の数を知り、その数を可能な結果の量で割る必要があります。上記の2つの単純なケースがあるため、利用可能なすべての結果を選択できるドアの数として、また肯定的な結果の量を車を隠すドアの数として考えるのは非常に自然です。この直感的な仮定を考えると、出場者が推測した後にホストがヤギを明らかにするためにドアを開けたとしても、車を含むいずれかのドアの確率は1/2のままです。

現実には、確率は3つのドアよりも大きい可能性のある結果のセットを認識し、車のある単一のドアよりも大きな一連の肯定的な結果を認識します。問題の正しい分析では、ホストは競技者に新しい情報を提供し、対処すべき新しい質問を作成します。ホストから提供された新しい情報が正しいことを通知するのに十分であるような、元の推測の確率ドア？この質問に答えるとき、肯定的な結果のセットと可能な結果のセットは、具体的なドアや車ではなく、ヤギと車の抽象的な配置です。3つの可能な結果は、2つのヤギと3つのドアの後ろの1台の車の3つの可能な配置です。2つの肯定的な結果は、競技者の最初の推測が間違っている2つの可能な配置です。これらの2つの配置のそれぞれで、ホストが提供する情報（残りの2つのドアの1つは空です）は、競技者が車を隠すドアを決定するのに十分です。

要約すると：

私たちは、選択の物理的な兆候（ドアと車）と、可能性のある結果の数と、確率の問題における望ましい結果との間の単純なマッピングを探す傾向があります。これは、競技者に新しい情報が提供されない場合にうまく機能します。ただし、競技者に詳細な情報が提供された場合（つまり、選択しなかったドアの1つが確かに車ではない場合）、このマッピングは機能しなくなり、尋ねられる正しい質問はより抽象的なものになります。

ソリューションを100個のドアに変更し、最初に閉じてから2番目に、98個のドアに変更すると、人々はより直感的なソリューションを見つけることがわかります。50ドアなども同様です。

元の質問に答えるために ：私たちの直感は物語のために失敗します。ストーリーをtvスクリプトと同じ順序で関連付けると、混乱します。事前に何が起こるかを考えると、はるかに簡単になります。クイズマスターがヤギを明らかにするので、私たちの一番のチャンスはヤギのいるドアを選択してから切り替えることです。ストーリー展開では、3回に1回の確率で車を選択するという点で、私たちの行動 に起因する損失に重点を置いています。

元の答え：

私たちの目的は、両方のヤギを排除することです。これを行うには、ヤギを1匹ずつマークします。クイズマスターは、車を公開するか、他のヤギを公開するかを選択せざるを得ません。車を明らかにすることは問題ではないので、クイズマスターは私たちが知らなかった1頭のヤギを明らかにし、排除します。次に、残りのドアに切り替えて、最初に選択したヤギを削除し、車を取得します。

この戦略は、ヤギをマークせず、代わりに車をマークした場合にのみ失敗します。しかし、それはありそうにありません。ヤギが2頭、車が1頭しかありません。

そのため、3分の2の確率で車に勝ちます。

答えは「もちろんYES！」ではありません。正解は、「わかりません。もっと具体的に教えていただけますか？」です。

あなたがそれが正しいと思う唯一の理由は、Marliyn vos Savantがそう言ったからです。質問に対する彼女の元の回答（質問は彼女の前に広く知られていましたが）は、1990年9月9日にパレード誌に掲載されました。彼女は、この質問に対する「正しい」答えはドアを切り替えることだと書いた。ドアを切り替えると、車に勝つ可能性が高くなるからだ（1/3ではなく2/3）。彼女は数学博士や他の知的な人々から、自分が間違っていると言った多くの回答を得ました（ただし、それらの多くも間違っていました）。

ゲームショーに参加していて、3つのドアを選択できるとします。ドアの後ろには車があり、他の後ろにはヤギがいます。＃1と言うドアを選ぶと、ドアの後ろにあるものを知っているホストが、ヤギがある＃3と言う別のドアを開きます。彼はあなたに言います、「あなたはドア＃2を選びたいですか？」ドアの選択を切り替えることはあなたにとって有利ですか？— クレイグF.ウィテカーコロンビア、メリーランド

この論理的質問の重要な部分を太字で示しました。その声明のあいまいさは次のとおりです。

モンティホールは常にドアを開けていますか？（勝者のドアを選んだときに彼が負けたドアを開けただけなら、ドアを切り替えることはあなたにとってどのような利点がありますか？答え：いいえ）

モンティホールは常に負けの扉を開いていますか？（質問は、彼が車の位置を知っていること、そしてこの特定の時間に後ろにヤギを見せたことを示しています。ランダムにドアを開けた場合、あなたはどうなりますか？ ）

モンティホールは、あなたが選んでいないドアを常に開けていますか？

この論理パズルの基本は2回以上繰り返されており、多くの場合、2/3の「正しい」答えを出すほど十分に指定されていません。

店主は、2匹の新しいビーグルを見せてあげると言いますが、オスかメスかペアかはわかりません。あなたは男性だけが欲しいと彼女に言い、彼女は彼らに風呂を与えている仲間に電話します。「少なくとも1人は男性ですか？」彼女は彼に尋ねます。"はい！" 彼女はあなたに笑顔で知らせます。もう一方が男性である確率はどのくらいですか？— スティーブンI.ゲラー、パサデナ、カリフォルニア

仲間は、「はい」と応答する前に両方の犬を見ていたか、またはランダムな犬を拾い上げて、それが雄であることを発見し、「はい」と応答しましたか。

女性と男性（関係のない）にはそれぞれ2人の子供がいます。私たちは、女性の子供の少なくとも1人が男の子であり、男性の一番上の子供が男の子であることを知っています。女性が2人の男の子を持つ可能性が、男性が2人の男の子を持つ可能性と等しくない理由を説明できますか？私の代数学の先生は、男性が2人の男の子を持つ確率は大きいと主張していますが、チャンスは同じだと思います。どう思いますか？

女性が少なくとも一人の男の子を持っていることをどうやって知るのでしょうか？ある日、フェンスを見渡して、そのうちの1つを見ましたか？（回答：50％、男性と同じ）

質問は私たち自身のジェフ・アトウッドをつまずかせました。彼はこの質問を投げかけた：

仮に、2人の子供がいて、そのうちの1人が女の子であると言った人に会ったとしましょう。その人が男の子と女の子を持っている確率は何ですか？

ジェフはそれが単純な質問であり、単純な言語で尋ねられたと主張し続け、答えを2/3にしたい場合、質問が誤って表現されていると言う人の反対意見をさておきます。

さらに重要なことは、女性が情報を志願した理由です。彼女が普通の人のように話していた場合、ある人が「そのうちの1人は女の子」と言うとき、必然的に他の人は男の子です。これが論理的な質問であり、私たちをつまずかせることを意図している場合、質問がより明確に定義されていることを尋ねるべきです。女性は、無作為に選ばれた子供の一人の性を志願したか、それとも二人の子供のセットについて話しているのか。

質問の表現が不十分であることは明らかですが、人々はそれを理解していません。同様の質問が行われ、切り替えの可能性がはるかに高い場合、人々はそれがトリックでなければならないことを認識し（そしてホストの動機に質問する）、または100ドアの質問のように切り替えの「正しい」答えを得る。これは、女性が特定の病気にかかっている可能性について検査を受けた後、医師が病気にかかっているか偽陽性であるかを判断する必要がある場合、医師は、質問の言い回しに応じて、正解。このまさしくその中途をカバーする素晴らしいTEDトークがあります。

彼は、乳がん検査に関連する確率を説明しました。検査された女性の1％が病気であり、検査は90％正確で、9％の偽陽性率です。すべての情報を使って、病気にかかっている可能性について陽性の検査を受けた女性に何を伝えますか？

それが役立つ場合、同じ質問が別の方法で表現されています：

日常のスクリーニングに参加する40歳の10,000人の女性のうち100人が乳がんです。乳がんの女性100人中90人がマンモグラフィ陽性になります。乳がんのない女性9,900人のうち891人もマンモグラフィ陽性になります。この年齢層の10,000人の女性が定期的にスクリーニングを受けた場合、乳房撮影が陽性の女性のうち実際に乳癌になる割合はどれくらいですか？

グラハムクックソンが言ったことを少し修正します。人々が見落としている本当に重要なことは、最初の選択ではなく、ホストの選択であり、ホストが車を公開しないようにしたという仮定だと思います。

実際、この問題をクラスで議論するとき、あなたの仮定を明確にするためのケーススタディとしてそれを提示します。ホストがヤギを明らかにすることだけを確認している場合に切り替えることはあなたの利点です。一方、ホストがドア2と3の間でランダムに選んで、偶然ヤギを見つけた場合、切り替えることの利点はありません。

（もちろん、実際的な結果は、ホストの戦略がわからない場合は、とにかく切り替える必要があるということです。）

これは一般的なルールを与えるものではありませんが、難しいパズルである理由の1つは、直感が条件付き確率をうまく処理していないことだと思います。同じ現象で遊ぶ他の確率パズルがたくさんあります。私は自分のブログにリンクしているので、Monty Hallに関する記事をここに掲載します。

学生がこの問題を非常に難しいと思うことに同意します。私が得る典型的な反応は、あなたがヤギを見せられた後、車を得る50:50のチャンスがあるので、なぜそれが重要なのですか？生徒たちは、今求められている決定から最初の選択を離すように見えます。つまり、これらの2つの行動は独立していると考えています。その後、彼らは最初に間違ったドアを選択した可能性が2倍であったことを思い出させます。

近年、私は実際にガラスでゲームをプレイし始めました。これにより、学生は問題をよりよく理解することができます。私は3つのボール紙トイレットロール「ミドル」を使用し、そのうちの2つはペーパークリップで、3つ目は£5のメモです。

モンティ・ホールのソリューションを驚くべきものにするのは、確率の問題よりも論理の問題だと思います。次の問題の説明を考慮してください。

あなたは、テレビ番組に行く前に家で決めます。ドアを切り替えるか、最初の選択を続けるかは、番組中に何が起こるかです。つまり、ゲームをプレイする前に戦略を「Stay」または「Switch」から選択します。この戦略の選択に伴う不確実性はありません。確率を導入する必要はまだありません。

2つの戦略の違いを理解しましょう。繰り返しますが、確率については説明しません。

戦略「Stay」では、最初の選択肢が「良い」ドアである場合にのみ勝ちます。一方、戦略「スイッチ」では、最初の選択肢が「悪い」ドアである場合にのみ勝ちます。これら2つのケース、特に2つ目のケースについては、慎重に検討してください。繰り返しますが、確率についてはまだ話していません。それは論理の問題です。

$1/3$$1/3$$2/3$

PS 1990年、ラリー・デネンバーグ教授は、テレビ番組の司会者モンティ・ホールに、有名な3つのドアの問題の説明で自分の名前を本で使用する許可を求める手紙を送りました。

以下は、その手紙に対するモンティの返信の一部の画像で、ここで読むことができます。

「私が見たように、プレイヤーがドアAを選択し、ドアCが表示された後でも、違いは生じません。なぜ彼はドアBに切り替えようとするのですか？」

したがって、Monty Hall（男性自身）がMonty Hallの問題を理解していなかったと結論付けることができます！

答えを切り替えるのが最善であると判断するために、条件付き確率やベイズ定理について知る必要はありません。

最初にドア1を選択したとします。次に、ドア1が勝者になる確率は1/3であり、ドア2または3が勝者になる確率は2/3です。ホスト2の選択によりドア2が敗者であることが示されている場合、2または3が勝者である確率はまだ2/3です。しかし、ドア2は敗者なので、ドア3は勝者になる確率が2/3でなければなりません。

レッスン？質問を再定式化し、状況を見る代わりに戦略を探してください。頭の上に物を向け、後方に作業します...

一般に、人々は偶然に働くのが苦手です。動物は通常、AまたはBのいずれかが平均してより高い支払いを行うことを発見すると、より良く歩きます。彼らはより良い平均で選択に固執します。（参照の準備ができていません-ごめんなさい。）

80/20ディストリビューションを見るときに人々が最初にしたいことは、支払いに合わせて選択肢を広げることです。80％がより良い選択肢で、20％が他の選択肢です。これにより、68％のペイアウトが発生します。

繰り返しますが、人々がそのような戦略を選択するための有効なシナリオがあります。時間の経過とともにオッズが変化する場合、プローブを送信し、成功の可能性が低い選択を試してみるべき十分な理由があります。

数学統計の重要な部分は、プロセスがランダムであるかどうかを判断するために、実際にプロセスの動作を研究します。

いくつかのことが起こっていると思います。

1つは、ソリューションが考慮するよりも多くの情報がセットアップに含まれることです。それはゲームショーであり、ホストが私たちに切り替えたいかどうか尋ねています。

ホストがショーに余分なお金を費やすことを望まない場合（これは合理的です）、あなたはあなたが正しいドアを持っていれば変更するように説得しようとすると思うでしょう。

これは人々を混乱させる問題を見る常識的な方法ですが、主な問題は新しい選択が最初の選択とどのように異なるかを理解していないことだと思います（100ドアの場合により明確です）。

以下の間違った記事を引用します。

考えられる仮説は、ドア1の車、ドア2の車、ドア3の車です。ゲームが始まる前に、3つのドアのいずれかが他のドアよりも車を収容する可能性が高いと考える理由はないため、これらの各仮説には1/3の事前確率があります。

ゲームはドアの選択から始まります。もちろん、それ自体は車がどこにあるかの証拠ではありません-ドアの1つ（ゲームの全体のポイントです！）ただし、それが完了したら、「テストを実行」して「実験データ」を取得する機会があります。ホストは、ヤギを収容することが保証されているドアを開くというタスクを実行します。ホストがドア1を開く結果を三角形で、ホストがドア2を正方形で開く結果を、ホストがドア3を五角形で開く結果を表示します。これにより、仮説空間をより詳細に「車ドア1でホストがドア2を開く​​」、「ドア1で車がホスト3を開く」など：

最初にドアを選択する前に、ホストはヤギを含むドアのいずれかを開く可能性が等しくなります。したがって、ゲームの開始時に、「ドアXの車とホストYのドア」という形式の各仮説の確率は、図のように1/6の確率になります。ここまでは順調ですね; すべてが完全に正しいままです。

次に、ドアを選択します。ドア2を選択するとします。ホストはドア1またはドア3を開き、ヤギを表示します。彼がドア1を開いたとします。ダイアグラムは次のようになります。

しかし、これは、ドア2とドア3の後ろに車がある確率が等しいことを示しています！

間違いを見つけましたか？

さて、これがあなたの直観があなたを失敗させる方法です。

記事全文の正しい解決策を確認してください。以下が含まれます。

• ベイズの定理の説明
• モンティホールの間違ったアプローチ
• モンティホールの正しいアプローチ
• その他の問題...

私の経験では、人々が言葉から数学に自動的に跳躍することはありません。通常、私が最初にそれを提示するとき、人々はそれを間違えます。ただし、52枚のカードのデッキを引き出して、1枚を選択させます。次に、50枚のカードを公開し、切り替えたいかどうかを尋ねます。ほとんどの人はそれを取得します。直感的には、52枚のカードがあるときに間違ったカードを受け取った可能性があることを知っており、50枚のカードが裏返された場合、決定は非常に簡単です。私は数学の問題で心をオフにする傾向としてそれほど逆説だとは思わない。