イタリア人の息子が小学校に通うことで、クラスに出席するイタリア人の子供の予想人数が変わりますか？

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これは現実の状況に起因する質問であり、その答えについて私は本当に困惑しています。

私の息子はロンドンで小学校を始める予定です。私たちはイタリア人なので、すでに何人のイタリアの子供たちが学校に通っているのか知りたいと思いました。入学審査官に申請中にこれを尋ねると、クラスあたり平均2人のイタリア人の子供（30人）がいると彼女は言った。

私は今、自分の子供が受け入れられたことを知っている時点にいますが、他の子供に関する他の情報はありません。入場基準は距離に基づいていますが、この質問の目的のために、それは応募者の大規模なサンプルからのランダムな割り当てに基づいていると仮定できると思います。

息子のクラスには何人のイタリアの子供がいると予想されますか？2または3に近いでしょうか？

probability self-study average

— user90213
ソース

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これは昔の冗談を思い起こさせます。「旅行中はいつも爆弾を運んでいます。同じ飛行機に2人が爆弾を持っている可能性は何ですか？」

— トカゲのビル

2

入学担当官から、クラスごとに平均2人のイタリアの子供がいると言われたことが、このデータを「疑わしい」ものにしている。それが実際の計算に由来する場合は、非円形の数値が予想されます。したがって、真の値は1.51または2.49である可能性があります。また、入場担当者は回答で「あなたを喜ばせよう」とする可能性が高いため、他のイタリア人の中にあなたの子供がいることを喜んでいると思われる場合は、切り捨てるのではなく切り上げるかもしれません。 2に近い値の分布は非対称になります。以下の回答を変更できます。

— PatrickT

4

@PatrickT「モード」は有効なタイプの平均です。

— イアンリングローズ

1

応答してくれてありがとう。同様の質問も投稿しましたが、異なるフレーミング（stats.stackexchange.com/questions/173969/…）があり、これは入力/回答の一部によってトリガーされています。

— user90213

1

@PatrickT過剰な丸めについて悩む統計オタクよりも、1.5（「どうやって半分の子供がいるの？」（とにかく、より正確な数は実際には1.9または2.1ではないと仮定します。）

— ダンニーリー

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いつものように、学校がクラス間で子供をどのように配分するかを説明する確率モデルを考慮する必要があります。可能性：

学校は、すべてのクラスに同数の外国人がいることに注意します。
学校は、各クラスがすべての国籍がほぼ同じであることを確認しようとしています。
学校は国籍をまったく考慮せず、ランダムにまたは他の基準に基づいて配布します。

これらはすべて合理的です。戦略2を考えると、あなたの質問に対する答えはノーです。戦略3を使用すると、期待値は3に近くなりますが、少し小さくなります。それはあなたの息子が「スロット」を占有し、ランダムなイタリア人のチャンスが1つ少ないからです。

学校が戦略1を使用すると、期待も上がります。どのくらいがクラスあたりの外国人の数に依存します。

あなたの学校を知らないと、これにもっと完璧に答える方法はありません。1年にクラスが1つだけで、入学基準が上記のとおりであれば、答えは上記3と同じになります。

3の詳細計算：

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

Xは、クラスのイタリア人の子供の数です。1は既知の子供に由来し、29はクラスの残りの部分であり、2/30は学校が言うことを考えると未知の子供がイタリア人である確率です。Bは二項分布です。

で始まると、適切な答えが得られないことに注意してください。特定の子供がイタリア人であることは、二項分布で想定される交換可能性に違反するためです。これを男の子または女の子のパラドックスと比較してください。1人の子供が女の子であることを知っているか、年長の子供が女の子であることを知っているかで違いが生じます。 $E(X|X\geq1)$

— エリック
ソース

2

二項仮定を立ててましょう。それは思われる間の選択との仮定に依存することができます。たとえば、ロンドンのイタリア人の父親が@ user90213のように困惑している可能性が非常に高いと想定し、ここに質問を投稿する場合、この1つの質問を見ても私の期待は大きく変わりません。私は1人の子供がイタリア人であり、を計算することしか学ばなかった。それはあなたが「交換可能性」と呼んだものですか？一方、user90213が私の親友であり、私が彼の息子を知っている場合、あなたの答えにたどり着きます。

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— アメーバは

2

@amoeba特定の学校や特定のクラスでは、user90213の子供が他の人と区別するのに十分であることを知っており、user90213との関係がどれほど特別であるかに依存しません。しかし、情報をどのように学習するかが重要であるという点で注意が必要です。たとえば、クラスで最も古いイタリア人の子供が名前で連絡することをメールで尋ねて返信を受け取った場合、後で子供を区別できたとしても、アプローチに進みます。女の子と男の子のパラドックスをググリングしてみたり、さらに一般的な質問をしてみてください。それについて多くの議論があります。

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

— エリック

そうです、エリックに感謝します。前のコメントで私が意味したことは、あなたの電子メールの例に似たものです。クラス内のすべてのイタリア人の親がここに質問を投稿すると仮定すると、この質問を見ることは、イタリアの最も年長の子供が連絡をとるようなものです。ほぼ一致しているようです、+ 1。wikiリンクは本当に興味深いものです。

— アメーバは、モニカを

（+1）しかし、「あなたが年に1つだけクラスを持っている場合[...]」と言う理由は困惑しています。

— Scortchi-モニカの復職

@Scortchi学校のクラスが1年に1つだけの場合、今年学校で受け入れられたすべての子供は同じクラスになるため、1と2の2つの戦略を使用できます。

— エリック

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これを見る別の方法は、個々の子供のレベルです。30人の子供が母集団からランダムに引き出されたと仮定すると（これは可能です）、イタリアの子供がこの母集団から引き出される大まかな確率： =ます。 $2/30$ $1/15$

30人のうち1人がイタリア人であることを知っているので、残りの子の確率を計算するだけです。

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

したがって、あなたの子供がイタリア人であることを知ると、クラスのイタリアの子供の予想数は約2.933に変わります。これは2よりも3に近い値です。

— トーマス・クレバーグ
ソース

5

これにアプローチする方法についての私の考えは次のとおりです。

ランダム変数が、現在サイズであるクラス内のイタリアの子供の数を示しているとします。ましょ新しい子のはイタリアであることの指標となります。このクラスに子を追加するとします。この、サイズこの拡張クラスのイタリアの子供の予想数は、。ここでは、期待の線形性のみを使用しているため、独立性は重要ではありません。子がイタリア語であることがわかっている場合、確率1でであるため、期待値を1増やしました。 $S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— jld
ソース

1

それでは、イタリアの子供を追加した後、このクラスには人の子供がいますか？

n + 1

$n+1$

— Scortchi -復活モニカ

はい。それに関連して私が見逃しているものはありますか？

— jld

1

質問の読み方によって異なります。クラスがちょうど30の子であるとします。

— Scortchi -復活モニカ

1

たぶん私は質問を誤解したでしょう。イタリアの既知の子供を追加することで期待がどのように変わるかを尋ねているのだと思いました。

— jld

1

それは、クラスについては非常に良い点は、おそらくキャップをされているサイズだ

— JLD

1

入学事務局の情報に基づいて、イタリアの子供の数は二項、独立していると仮定しています。これでクラスに少なくとも1人のイタリア人の子供がいることがわかるので、期待値はます。用、この評価さ（私は私の計算の権利を取得する場合）。 $\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

編集。期待値の評価：

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

（最後のステップでの合計の下限の変化に注意してください）

— jf328
ソース

1

条件付き期待について詳しく説明していただけますか？

— アントニ・パレラダ

3

あなたの答えは間違っています。これを計算する適切な方法は、1（既知の子）+ E（B（29、2/30））であり、2.9333になります。そして、二項分布の仮定には疑問があります。

— エリック

もう1つ指摘しておきたいのは、a）条件付き期待値の計算が間違っていることです。しかし、b）より重要なことは、条件付き期待値から始めることは正しくないことです。特定の子供がイタリア人であることを知ることは、双正規分布によって想定される交換可能性を壊します。それは、男の子と女の子のパラドックス（en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox）に非常によく似ています。

— エリック

スクラッチコメントa）上から。しかし、b）とにかく深刻です;）

— エリック

同意する。OPの場合、分布はもはや二項（30、2/30）ではなく、実際には1 + binomial（29、2/30）

— jf328

-3

いいえ。差し迫った出来事に関するあなたの知識は、学校の典型的な経験について何も変わりません。

— マート
ソース

2

-1。これは間違っています。他の回答とコメントで詳しく説明しています。

— アメーバは、モニカを復活させる

高度な数学の私の欠如を許すが、何をしないで「一般的に2」子の1つであることを、このゲントの子になります。..、そのような私たちは3に近い終わること？

— マート

stats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844を

— amoebaは、

マート：コインを10回投げて頭を数えると想像してください。コインや私がそれを投げる方法について奇妙なことは何もありません。私はその実験を何度も繰り返しますが、平均して、10回の投げでほぼ正確に5つの頭が見えます。どの結果が見られますか（全体で1000回のトス、そのうち50.3％が頭であり、公正なコイントス手順で予想される変動の範囲内です。プロセスが少なくとも実質的に公平であることに同意します）。ここでもう一度実験を行いますが、最初の4回のトスはすべて頭です。10回のトスの完全なセットで予想される頭の数は？5？もっと？

— グレン_b-モニカを復元

先ほどの議論では、最初の4つは「予想された5つのうち4つだった可能性がある」ことに注意してください。しかし、その後、あなたは次の6回のトスで50％未満のチャンスがあると言っているでしょう（実際、あなたは平均して1/6のチャンスしかないと言っています）。コインは頭を上げる頻度が少ないことをどのように知っていますか？

— グレン_b-モニカの復元