特徴的な機能の目的は何ですか？

私は、誰かが素人の言葉で、特徴的な機能とは何か、実際にどのように使用されるかを説明できることを望んでいます。私はそれがpdfのフーリエ変換であることを読んだので、私はそれが何であるか知っていると思いますが、私はまだその目的を理解していません。誰かがその目的の直感的な説明と、おそらくそれが通常どのように使用されるかの例を提供できれば、それは素晴らしいことです！

最後の注意点：Wikipediaのページを見たことがありますが、何が起こっているのかを理解するには密度が高すぎるようです。私が探しているのは、確率論の不思議に没頭していない人、たとえばコンピューター科学者が理解できる説明です。

昔、人々は対数表を使用して数字をより速く乗算していました。どうしてこれなの？、対数は乗算を加算に変換します。したがって、2つの大きな数値aとbを乗算するには、それらの対数を見つけ、対数z = log （a ）+ log （b ）を追加し、別のテーブルでexp （z ）を検索しました。$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

現在、特性関数は確率分布に対して同様のことを行います。仮定分布有しFをし、Yは、分配有するGを、そしてX及びYは独立しています。その後の分布X + Yである畳み込みのFとG、F * Gは。$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

今特性関数は、畳み込みのために、「対数テーブルトリック」のアナロジーで、場合ので、の特性関数であり、Fは、以下の関係が成り立ちます。$\phi_f$$f$

さらに、また、対数の場合のように、それは特性関数の逆を見つけるのは簡単です：与えられた hは不明密度で、我々は得ることができ、Hをフーリエの逆変換によってφ H。$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

特性関数変換の畳み込みに 乗算密度関数の対数に変換するのと同じ方法乗算に加え番号について。どちらの変換も、比較的複雑な操作を比較的単純な操作に変換します。

@ charles.y.zhengと@cardinalが非常に良い答えを出したので、2セントを加算します。はい、特徴的な機能は不必要な複雑さのように見えるかもしれませんが、結果を得ることができる強力なツールです。累積分布関数で何かを証明しようとしている場合、特性関数で結果を取得できないかどうかを常に確認することをお勧めします。これにより、非常に短い証明が得られる場合があります。

最初は、特性関数は確率分布を扱う直感的でない方法に見えますが、それに直接関連する強力な結果がいくつかあります。これは、この概念を単なる数学的娯楽として破棄できないことを意味します。たとえば、確率論での私のお気に入りの結果は、無限に割り切れる分布には、一意のレビ-キンチン表現があるということです。無限に割り切れる分布が、独立したランダム変数の合計の限界（奇妙なケースを除く）の唯一の可能な分布であるという事実と組み合わせて、これは、中心極限定理が導き出される深い結果です。

特性関数の目的は、確率理論で分布の特性を導出するために使用できることです。このような派生に興味がない場合は、特徴的な機能について学ぶ必要はありません。

特性関数は、分布の密度関数のフーリエ変換です。フーリエ変換に関する直感がある場合、この事実は啓発的かもしれません。フーリエ変換に関する一般的な話は、それらが関数を「周波数空間で」記述することです。確率密度は通常（少なくとも現実の世界、または現実の世界について作成されたモデルでは）単峰性であるため、これはそれほど興味深いものではありません。

フーリエ変換は、その周波数における関数の分解（非周期的）です。密度の解釈？

フーリエ変換はフーリエ特性の連続バージョンです。密度は周期的ではないため、「特性級数」のような表現はありません。