タグ付けされた質問 「mgf」

まず、ポアソン分布が「安定」しているかどうかについて質問があります。非常に素朴です（そして「安定した」分布についてはあまり確信がありません）。MGFの積を使用して、ポアソン分散RVの線形結合の分布を計算しました。個々のRVのパラメーターの線形結合に等しいパラメーターを持つ別のポアソンを取得しているようです。したがって、ポアソンは「安定」していると結論付けます。何が欠けていますか？ 次に、特性関数の場合と同様にMGFの反転式はありますか？

11 distributions  poisson-distribution  mgf 

モーメント生成関数は、確率密度関数のフーリエ変換ですか？ 言い換えれば、モーメント生成関数は、確率変数の確率密度分布のスペクトル分解能にすぎませんか。つまり、パラメーターではなく、振幅、位相、周波数で関数を特徴付ける同等の方法ですか。 もしそうなら、この獣に物理的な解釈を与えることができますか？ 統計物理学では、モーメント生成関数の対数であるキュムラント生成関数が、物理システムを特徴付ける付加的な量であるためです。エネルギーを確率変数と考えると、その累積関数は、システム全体のエネルギーの広がりとして非常に直感的に解釈できます。モーメント生成関数に同様の直感的な解釈はありますか？ 私はそれの数学的有用性を理解していますが、それは単なるトリックの概念ではなく、確かに概念的にはその背後に意味がありますか？

10 moments  mgf  cumulants 

ましょX1,…,Xn∼U(0,1)X1,…,Xn∼U(0,1)X_1,\dots,X_n \sim U(0,1)独立したidenticallly標準一様確率変数を分散させること。 Let Yn=∑inX2iI seek: E[Yn−−√]Let Yn=∑inXi2I seek: E[Yn]\text{Let }\quad Y_n=\sum_i^nX_i^2 \quad \quad \text{I seek: } \quad \mathbb{E}\big[\sqrt{Y_n } \big] YnYnY_nの予想は簡単です。 E[X2]E[Yn]=∫10y2y√=13=E[∑inX2i]=∑inE[X2i]=n3E[X2]=∫01y2y=13E[Yn]=E[∑inXi2]=∑inE[Xi2]=n3\begin{align} \mathbb{E}\left[X^2\right] &=\int_0^1\frac{y}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{3}\\ \mathbb{E}\left[Y_n\right] &=\mathbb{E}\left[\sum_i^nX_i^2\right] = \sum_i^n\mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\frac{n}{3} \end{align} 退屈な部分です。LOTUSを適用するには、YnYnY_n pdfが必要です。もちろん、2つの独立確率変数の和の確率密度関数は、それらの確率密度関数のたたみ込みです。しかし、ここにはnnn確率変数があり、たたみ込みは...複雑な式（恐ろしいしゃれが意図されたもの）につながると思います。もっと賢い方法はありますか？ 私は正しい解決策を見たいと思いますが、それが不可能であるか複雑すぎる場合は、大きなnnn漸近近似は許容できる可能性があります。ジェンセンの不平等によって、私はそれを知っています E[Yn]−−−−−√=n3−−√≥E[Yn−−√]E[Yn]=n3≥E[Yn]\sqrt{\mathbb{E}[Y_n]}=\sqrt{\frac{n}{3}}\geq\mathbb{E}\left[\sqrt{Y_n}\right] しかし、自明ではない下限も見つけられない限り、これはあまり役に立ちません。独立したRVの合計だけでなく、独立したRVの合計の平方根があるため、CLTはここでは直接適用されないことに注意してください。たぶん、ここで役立つかもしれない他の限界定理（私は無視します）があるかもしれません。

9 probability  expected-value  uniform  central-limit-theorem  mgf 

誰もが、それぞれが独立してとして分布する2つのガウスランダムベクトルの内積のモーメント生成関数を計算する方法を提案できますか？これに利用できる標準的な結果はありますか？どんなポインタでも大歓迎です。N(0,σ2)N（0、σ2）\mathcal N(0,\sigma^2)

9 normal-distribution  mathematical-statistics  multivariate-analysis  moments  mgf 

ましょう確率空間であり、およびletランダムベクトルです。LETの分布である、上のボレル測度。(Ω,F,P)（Ω、F、P）(\Omega, \mathcal{F}, P)X:Ω→Rnバツ：Ω→RんX : \Omega \to \mathbb{R}^nPX=X∗PPバツ=バツ∗PP_X = X_* PXバツXRnRん\mathbb{R}^n 特性関数の関数で に対して定義された（確率変数は、すべてのに対してで制限されます）。これはのフーリエ変換です。XバツXφX(t)=E[eit⋅X]=∫Ωeit⋅XdP,φバツ（t）=E[e私t⋅バツ]=∫Ωe私t⋅バツdP、 \varphi_X(t) = E[e^{i t \cdot X}] = \int_\Omega e^{i t \cdot X} \, dP, t∈Rnt∈Rんt \in \mathbb{R}^neit⋅Xe私t⋅バツe^{i t \cdot X}L1(P)L1（P）L^1(P)tttPXPバツP_X のモーメント生成関数（mgf）は、関数 すべての、上記積分が存在します。これはのラプラス変換です。XバツXMX(t)=E[et⋅X]=∫Ωet⋅XdP,Mバツ（t）=E[et⋅バツ]=∫Ωet⋅バツdP、 M_X(t) = E[e^{t \cdot X}] = \int_\Omega e^{t \cdot X} \, dP, t∈Rnt∈Rんt \in \mathbb{R}^n PXPバツP_X …

9 mgf  characteristic-function 

誰かが互いに独立してとして分布する2つのガウスランダムベクトルの余弦の2次モーメント（またはモーメント生成関数全体）を計算する方法を誰かが提案できますか？IE、次の確率変数の瞬間x,yx,yx,yN(0,Σ)N(0,Σ)\mathcal N (0,\Sigma) ⟨x,y⟩∥x∥∥y∥⟨x,y⟩‖x‖‖y‖\frac{\langle x, y\rangle}{\|x\|\|y\|} 最も近い質問は、内積の MGFを導出する2つのガウスランダムベクトルの内積のモーメント生成関数です。この質問をサンプルの共分散行列の固有値の分布にリンクするmathoverflowからのこの回答もありますが、それらを使用して2次モーメントを計算する方法はすぐにはわかりません。 私は2次元の代数的操作と、推測とチェックから3次元の結果を得るので、2次モーメントは\ Sigmaの固有値の半分のノルムに比例してスケーリングするΣΣ\Sigmaと思います。固有値a,b,ca,b,ca,b,c合計が1になると、二次モーメントは次のようになります。 (a−−√+b√+c√)−2(a+b+c)−2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{-2} 数値チェックに以下を使用 val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2 val2[a_, b_, c_] := Block[{}, x := {x1, x2, x3}; y := {y1, y2, y3}; normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( { {a, 0, 0}, …

9 normal-distribution  mathematical-statistics  multivariate-analysis  circular-statistics  mgf 

ほとんどの基本的な確率理論コースでは、指示されたモーメント生成関数（mgf）は確率変数のモーメントの計算に役立ちます。特に期待と分散。現在、ほとんどのコースで、期待値と差異について提供する例は、定義を使用して分析的に解決できます。 期待値と分散を見つけることが分析的に困難であり、mgfの使用が必要であった分布の実際の例はありますか？ベーシックコースでなぜ重要なのか正確に理解できないので、お願いします。

8 probability  distributions  mathematical-statistics  mgf  method-of-moments 

レッツとY 2〜N （μ 2、σ 2 2）独立系。ことを示すY 1 + Y 2は、スキュー正規分布を有しており、この分布のパラメータを見つけます。Y1∼SN(μ1,σ21,λ)Y1∼SN(μ1,σ12,λ)Y_1\sim SN(\mu_1,\sigma_1^2,\lambda)Y2∼N(μ2,σ22)Y2∼N(μ2,σ22)Y_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)Y1+Y2Y1+Y2Y_1+Y_2 確率変数は独立しているため、畳み込みを使用しようとしました。LET Z=Y1+Y2Z=Y1+Y2Z=Y_1+Y_2 fZ(z)=∫∞−∞2ϕ(y1|μ1,σ1)Φ(λ(y1−μ1σ1))ϕ(z−y1|μ2,σ22)dy1fZ(z)=∫−∞∞2ϕ(y1|μ1,σ1)Φ(λ(y1−μ1σ1))ϕ(z−y1|μ2,σ22)dy1f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\phi(y_1|\mu_1,\sigma_1)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\phi(z-y_1|\mu_2,\sigma_2^2)\,\text{d}y_1 ここで、とΦ （）は、それぞれ標準の正規pdfとcdfです。ϕ()ϕ()\phi()Φ()Φ()\Phi() fZ(z)=∫∞−∞212πσ1−−−−√12πσ2−−−−√exp(−12σ21(y1−μ)2−12σ22((z−y1)2−μ)2)Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1fZ(z)=∫−∞∞212πσ112πσ2exp(−12σ12(y1−μ)2−12σ22((z−y1)2−μ)2)Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}}exp\Big(-\frac{1}{2\sigma_1^2}(y_1-\mu)^2-\frac{1}{2\sigma_2^2}((z-y_1)^2-\mu)^2\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1 簡略表記の場合、k=212πσ1√12πσ2√k=212πσ112πσ2k=2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}} fZ(z)=k∫∞−∞exp(−12σ21σ22(σ21(y1−μ1)2+σ22((z−y1)−μ2)2))Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫∞−∞exp(−12σ21σ22(σ22(y21−2y1μ1+μ1)+σ21((z−y1)2−2(z−y1)μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫∞−∞exp(−12σ21σ22(σ22(y21−2y1μ1+μ1)+σ21(z2−2zy1+y21−2zμ2+2y1μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1fZ(z)=k∫−∞∞exp⁡(−12σ12σ22(σ12(y1−μ1)2+σ22((z−y1)−μ2)2))Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫−∞∞exp⁡(−12σ12σ22(σ22(y12−2y1μ1+μ1)+σ12((z−y1)2−2(z−y1)μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫−∞∞exp(−12σ12σ22(σ22(y12−2y1μ1+μ1)+σ12(z2−2zy1+y12−2zμ2+2y1μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1\begin{align*}f_Z(z)&=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_1^2(y_1-\mu_1)^2+\sigma_2^2((z-y_1)-\mu_2)^2\Big)\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1\\ &=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2((z-y_1)^2-2(z-y_1)\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1=k\int_{-\infty}^{\infty} \exp\\&\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2(z^2-2zy_1+y_1^2-2z\mu_2+2y_1\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1 \end{align*} しかし、私はこの時点で行き詰まっています。 編集：コメント欄で提案した後、服用とσ 2 1 = σ 2 2 = 1μ1=μ2=0μ1=μ2=0\mu_1=\mu_2=0σ21=σ22=1σ12=σ22=1\sigma_1^2=\sigma_2^2=1 ∫∞−∞212π−−√12π−−√exp(−12[y21+z2−2zy1+y21])Φ(λy1)dy1∫∞−∞212π−−√12π−−√exp(−12y21)Φ(λy1)exp(−12(z−y1)2)dy1∫−∞∞212π12πexp⁡(−12[y12+z2−2zy1+y12])Φ(λy1)dy1∫−∞∞212π12πexp⁡(−12y12)Φ(λy1)exp⁡(−12(z−y1)2)dy1\begin{align*} &\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}[y_1^2+z^2-2zy_1+y_1^2]\Big)\Phi(\lambda y_1)dy_1 \\&\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}y_1^2\Big)\Phi(\lambda y_1) \exp\Big(-\frac{1}{2}(z-y_1)^2\Big)dy_1\end{align*} 歪曲は正常です。

8 probability  self-study  mgf  skew-normal 

である確率変数が存在しない理由を説明して。ここで、Mはモーメント生成関数です。Mx(t)=t1−tMx(t)=t1−tM_x(t) = \frac{t}{1-t} 試み：私はを無限級数の和として書いてみたので、はから。モーメント生成関数の式はことがわかっています。だから私は2つを比較し、これが1に統合されない密度につながることを示すことを試みましたが、私はそれを得ます：、一般はから収束しています。他にどのようにこれを見せますか？t1−tt1−t\frac{t}{1-t}∑tn∑tn\sum t^nn=1n=1n=1∞∞\infty ∑etxf(x)∑etxf(x)\sum e^{tx}f(x)f(n)=∑(tet)nf(n)=∑(tet)n f(n) = \sum (\frac{t}{e^t})^n t&lt;ett&lt;ett<e^t ありがとう！

7 self-study  mgf