方向ベクトルのコサインのモーメント/ mgf？

誰かが互いに独立してとして分布する2つのガウスランダムベクトルの余弦の2次モーメント（またはモーメント生成関数全体）を計算する方法を誰かが提案できますか？IE、次の確率変数の瞬間$x,y$$\mathcal N (0,\Sigma)$

最も近い質問は、内積の MGFを導出する2つのガウスランダムベクトルの内積のモーメント生成関数です。この質問をサンプルの共分散行列の固有値の分布にリンクするmathoverflowからのこの回答もありますが、それらを使用して2次モーメントを計算する方法はすぐにはわかりません。

私は2次元の代数的操作と、推測とチェックから3次元の結果を得るので、2次モーメントは\ Sigmaの固有値の半分のノルムに比例してスケーリングする$\Sigma$と思います。固有値$a,b,c$合計が1になると、二次モーメントは次のようになります。

数値チェックに以下を使用

val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2
val2[a_, b_, c_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3};
  y := {y1, y2, y3};
  normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( {
      {a, 0, 0},
      {0, b, 0},
      {0, 0, c}
     } )];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

  val1[1.5,2.5,3.5] - val2[1.5,2.5,3.5]

4つの変数の数式を確認します（数値範囲内）：

val1[a_, b_, c_, 
  d_] := (a + b + c + d)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c] + Sqrt[d])^2
val2[a_, b_, c_, d_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3, x4};
  y := {y1, y2, y3, y4};
  normal := 
   MultinormalDistribution[{0, 0, 0, 
     0}, {{a, 0, 0, 0}, {0, b, 0, 0}, {0, 0, c, 0}, {0, 0, 0, d}}];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

val1[0.5, 1.5, 2.5, 3.5] - val2[0.5, 1.5, 2.5, 3.5]

ヤロスラフさん、MOに関する私の回答を急いで受け入れる必要はありません。詳細について質問してください。

質問を3次元で再定式化したので、あなたがやりたいことを正確に見ることができます。MOポストでは、2つの確率変数間の最大の余弦を計算するだけでよいと思いました。今、問題はより難しいようです。

最初に、正規化されたガウスを計算し。これは、多変量正規密度を極座標。そして、の限界密度は、で取得できます$\frac{X}{\|X\|}$$X$$(\|X\|,\frac{X}{\|X\|})=(r,\boldsymbol{\theta})$$\boldsymbol{\theta}$

重要な例は、が2変量正規分布を持ち、が射影された法線（または角ガウスまたはオフセット法線）を持っていると言われる場合です。分布。[Mardia＆Peter] p.46$x$$N_2(\mu,\Sigma)$$\|x\|^{-1}x$

このステップでは、分布を取得できるため、それらの結合密度独立しているためです。投影された正規分布の具体的な密度関数については、[Mardia＆Peter]の第10章または[2]式（4）または[1]を参照してください。（[2]では、特殊な形式の共分散行列も想定していることに注意してください）$\mathcal{PN}_{k}$$\frac{X}{\|X\|}\perp\frac{Y}{\|Y\|}$$(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})$$\Sigma=\left(\begin{array}{cc} \Gamma & \gamma\\ \gamma' & 1 \end{array}\right)$

第2に、それらの結合密度はすでに取得しているため、それらの内積は変換式を使用して簡単に導出できます。[3]も参照してください。

密度を計算する限り、二次モーメントは積分の問題にすぎません。

参照

[Mardia＆Peter] Mardia、Kanti V.、およびPeter E. Jupp。方向統計。巻。494. John Wiley＆Sons、2009年。

[1] Wang、Fangpo、およびAlan E. Gelfand。「一般的な予測正規分布の下での方向性データ分析。」統計手法10.1（2013）：113-127。

[2] Hernandez-Stumpfhauser、Daniel、F。Jay Breidt、およびMark J. van der Woerd。「任意の次元の一般的な予測正規分布：モデリングとベイズ推定。」ベイズ分析（2016）。 https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ba/1453211962

[3] 2つのガウスランダムベクトルの内積のモーメント生成関数