2つのガウスランダムベクトルの内積のモーメント生成関数

誰もが、それぞれが独立してとして分布する2つのガウスランダムベクトルの内積のモーメント生成関数を計算する方法を提案できますか？これに利用できる標準的な結果はありますか？どんなポインタでも大歓迎です。 $\mathcal N(0,\sigma^2)$

— アビバト
ソース

まずレッツ・アドレスの場合 $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ 。最後に、任意のへの（簡単な）一般化があり $\Sigma$ ます。

内積を観察することから始めて、iid変数の合計であり、それぞれが2つの独立した正規 $(0,\sigma)$ 変量の積です。これにより、合計のmgfが積であるため、後者のmgfを見つける問題が減少します。 mgfsの。

mgfは統合によって見つけることができますが、もっと簡単な方法があります。ときに $X$ と $Y$ 標準正規あり、

X Y = ((X + Y) / 2)^{2} - ((X - Y) / 2)^{2}

$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$

2つの独立したスケーリングされたカイ2乗変量の差です。（スケール・ファクタは、の分散のでに等しい）カイ二乗変量のMGFであるため $1/2$ $(X\pm Y)/2$ $1/2$ のMGFある $1/\sqrt{1 - 2\omega}$ $((X+Y)/2)^2$ とのMGF ある $1/\sqrt{1-\omega}$ $-((X-Y)/2)^2$ 。乗算すると、望ましいmgfは等しいことがわかります $1/\sqrt{1+\omega}$ 。 $1/\sqrt{1-\omega^2}$

（後で参照する、ことを通知するためおよびによって再スケーリングされたによって、それらの製品のスケール、そこによってスケーリングべきも）。 $X$ $Y$ $\sigma$ $\sigma^2$ $\omega$ $\sigma^2$

これはおなじみのはずです：一定の係数と符号までは、自由度スチューデントt分布の確率密度のように見えます。（実際、mgfsの代わりに特性関数を使用していた場合、 $0$ 。さらに近いスチューデントt PDFにある、）とスチューデントのtのようなものがあることを気にしないですべてその事項の近傍に分析することMGFということではありません- DFSはと明確に、この（二項定理による）です。 $1/\sqrt{1 + \omega^2}$ $0$ $0$

これらのiid ガウスベクトルの内積の分布は、このmgfの倍積に等しいmgfを持つことになります。 $n$ $n$

（ 1 - ω^{2} σ^{4} ）^{- ん / 2} 、 ん = 1 、 2 、 \dots 。

$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$

スチューデントt分布の特性関数を調べることにより、PDF自体が次の式で与えられることを（代数の小さなビットまたは正規化定数を見つけるための積分を使用して）推定します

f_{ん 、 σ} （ バツ ） = \frac{2^{\frac{1 - ん}{2}} | バツ |^{\frac{ん - 1}{2}} K_{\frac{ん - 1}{2}} （ \frac{| バツ |}{σ^{2}} ）}{\sqrt{π} σ^{4} Γ （ \frac{ん}{2} ）}

$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$

（はベッセル関数です）。 $K$

例えば、ここでのランダムサンプルのヒストグラムの上に重ね、そのPDFのプロットであるこのような内積及び： $10^5$ $\sigma=1/2$ $n=3$

ヒストグラム

シミュレーションからmgfの精度を確認することは困難ですが、（二項定理から）

（ 1 + t^{2} σ^{4} ）^{- ３ / 2} = 1 - \frac{３ σ^{4} t^{2}}{2} + \frac{15 σ^{8} t^{4}}{8} - \frac{35 σ^{12} t^{6}}{16} + \frac{315 σ^{16} t^{8}}{128} + \dots 、

$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$

（階乗で割った）瞬間を読み取ることができます。の対称性により、重要なのは偶数モーメントのみです。、我々は、このシミュレーションの生の瞬間と比較されるように、次の値を取得します。 $0$ $\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

予想されるように、シミュレーションの高いモーメントは、mgfによって与えられたモーメントから逸脱し始めます。しかし、少なくとも10番目の瞬間までは、素晴らしい合意があります。

ちなみに、の場合、分布は双指数関数です。 $n=2$

一般的なケースを処理するには、まず、内積が座標に依存しないオブジェクトであることを確認します。したがって、主方向（固有ベクトル）を座標として使用できます。これらの座標では、内積は、独立した正規変量の独立した積の合計であり、各成分は、関連する固有値に等しい分散で分布します。したがって、非ゼロの固有値せること（と）、MGFは等しくなければなりません $\Sigma$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ $0 \le d \le n$

{（ Π_{私 = 1}^{d} （ 1 - ω^{2} σ_{私}^{4} ） ）}^{- 1 / 2} 。

$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$

この推論で誤りがないことを確認するために、が行列である例を作成しました $\Sigma$

（ \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} ）

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$

そして、その固有値が

（ σ_{1}^{2} 、 σ_{2}^{2} 、 σ_{３}^{2} ） = （ \frac{1}{16} （ 17 + \sqrt{65} ） 、 \frac{1}{16} （ 17 - \sqrt{65} ） 、 \frac{３}{8} ） \approx （ 1.56639 、 0.558609 、 0.375 ） 。

$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$

特性関数のフーリエ変換を数値的に評価することによりPDFを計算することが可能でした（ここで与えられたmgfの式から導き出される）：このPDFのプロットは、次の図に赤い線で示されています。それと同時に、私は、生成され IID変量法線から分布と他の IIDが変量同様の方法で、および計算内積が $10^6$ $X_i$ $(0,\Sigma)$ $10^6$ $Y_i$ $10^6$ $X_i\cdot Y_i$ 。プロットを示し、これらのドット積のヒストグラム（最も極端な値の一部を省略-範囲からだったを）。 $-12$ $15$

ヒストグラムとPDF

以前と同様に、合意は優れています。 さらに、モーメントは8番目までよく一致し、10番目でもかなり一致します。

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

補遺

（2013年8月9日追加）

$f_{n,\sigma}$ $0$ $0$ $\sigma^2$ $n/2$

— whuber
ソース

Σ

$\Sigma$

この一般化の（簡単な）詳細の一部を提供するために、新しいセクションを追加して、ここでは何も新しいことが関係していないことを明確にしました。mgfsの基本的なプロパティを使用して、データにゼロ以外の平均値がある場合もmgfを書き留めることで、問題を完全に解決できます。

— whuber