モーメント生成関数を特性関数より優先する場合は？

ましょう確率空間であり、およびletランダムベクトルです。LETの分布である、上のボレル測度。$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$X : \Omega \to \mathbb{R}^n$$P_X = X_* P$$X$$\mathbb{R}^n$

• 特性関数の関数で に対して定義された（確率変数は、すべてのに対してで制限されます）。これはのフーリエ変換です。$X$ $$\varphi_X(t) = E[e^{i t \cdot X}] = \int_\Omega e^{i t \cdot X} \, dP,$$ $t \in \mathbb{R}^n$$e^{i t \cdot X}$$L^1(P)$$t$$P_X$
• のモーメント生成関数（mgf）は、関数 すべての、上記積分が存在します。これはのラプラス変換です。$X$ $$M_X(t) = E[e^{t \cdot X}] = \int_\Omega e^{t \cdot X} \, dP,$$ $t \in \mathbb{R}^n$ $P_X$

すでに、特性関数が$\mathbb{R}^n$どこにでも定義されていることがわかりますが、mgfには$X$に依存するドメインがあり、このドメインは$\{0\}$可能性があります（これは、例えば、コーシー分布の確率変数の場合に起こります） ）。

これにも関わらず、特徴的な関数とmgfは多くの特性を共有しています。例えば：

1. もし$X_1, \ldots, X_n$独立しており、次いで、 $$\varphi_{X_1 + \cdots + X_n}(t) = \varphi_{X_1}(t) \cdots \varphi_{X_n}(t)$$ すべてについて$t$、および $$M_{X_1 + \cdots + X_n}(t) = M_{X_1}(t) \cdots M_{X_n}(t)$$ mgfが存在する すべての$t$ n（t）。
2. 2つのランダムベクトル$X$と$Y$と同じ分布を有する場合にのみ$\varphi_X(t) = \varphi_Y(t)$すべてのため$t$。この結果のmgfアナログは、0のある近傍のすべてのtについて$M_X(t) = M_Y(t)$場合、XとYは同じ分布を持つということです。$t$ $0$$X$$Y$
3. 一般的な分布の特性関数とmgfの形式はよく似ています。例えば、もし$X \sim N_n(\mu, \Sigma)$（$n$平均値と次元正常$\mu$と共分散行列$\Sigma$）は、 $$\varphi_X(t) = \exp\left(i \mu\cdot t - \frac{1}{2} t \cdot (\Sigma t)\right)$$ と $$M_X(t) = \exp\left(\mu\cdot t - \frac{1}{2} t \cdot (\Sigma t)\right).$$
4. いくつかの穏やかな仮定が成り立つ場合、特性関数とmgfの両方を微分してモーメントを計算できます。
5. レヴィの連続性定理は、対応する特性関数の収束を使用して、確率変数のシーケンスが別の確率変数に分布で収束する時期を決定する基準を与えます。mgfの対応する定理があります（Curtiss 1942、定理3）。

特性関数とmgfは同じ目的で使用されることが多く、特性関数は常に存在するがmgfは常に存在しないという事実を考えると、mgfよりも特性関数を使用することを好むはずです。

質問。

1. 特性関数よりもmgfの方が便利な例は何ですか？
2. 特性関数ではできないmgfで何ができるのでしょうか？

それは良い質問ですが、幅広い質問なので、言っておくべきことについてすべて言うことは約束できません。簡単に言えば、ライバルのテクニックは、何ができるかではなく、どれほどきちんとできるかという点で異なります。

特性関数は複素数の役割があるため、特に注意が必要です。学生が複素数について知っている必要があるということさえありません。関係する微積分には微妙な落とし穴があるということです。たとえば、変数シフトの置換で二乗を完了するだけで正規分布のMGFを取得できますが、多くのソースは、特性関数を使用するアプローチが不用意にふりをするのと同じくらい簡単です。ガウス積分の有名な正常化は、上の統合については何も述べていないので、それは、ない$ic+\mathbb{R}$と$c\in\mathbb{R}\backslash\{ 0\}$。ああ、コンターに注意すれば、積分を評価することができます。実際には、もっと簡単な方法があります。これは、$N(0,\,1)$分布の特性関数$\phi (t)$を満たします$\dot{\phi}=-t\phi$。しかし、MGFアプローチはさらに単純であり、学生が早い段階で必要とする分布のほとんどは、線分（例：ラプラス）または半線（例：ガンマ、幾何学的、負の二項）、または$\mathbb{R}$全体（例：ベータ、二項、ポアソン、ノーマル）。いずれにせよ、それは瞬間を研究するには十分です。

MGFでしかできないことはないと思いますが、目の前のタスクで最も簡単な方法を使用します。ポアソン分布のモーメントを計算する最も簡単な方法は何ですか？私はそれが再び異なる技術を使用することだと主張したい、確率生成関数$G(t)=\mathbb{E}t^X=\exp \lambda (t-1)$。次に、下降ポッホハンマー記号$(X)_k$は$\mathbb{E}(X)_k=G^{(k)}(1)=\lambda^k$。一般に、離散分布の場合はPGFを使用し、PDFの末尾に境界があるか超指数関数的減衰を伴う連続分布の場合はMGFを使用し、実際に必要な場合は特性関数を使用する価値があります。

そして、あなたが求めている質問によっては、代わりに、キュムラント生成関数を使用することが賢明であると考えるかもしれません。それは、MGFまたはCFの対数として定義されている場合です。例えば、私は最高のためのキュムラントのログMGFの定義という運動としてそれを残しておきます$n$ $\operatorname{Exp}(1)$のIID与え$\kappa_m=(m-1)!\sum_{k=1}^n k^{-m}$、（それぞれ、平均と分散の非常に簡単な計算を提供$\kappa_1$及び$\kappa_2$）あなたは瞬間の点でそれらを書いた場合に比べ。

確率変数にすべてのモーメントがある場合、MGFが存在し、一般に少なくとも証明の特性関数と同じくらい役立ちます。

あなたの質問に答えるために、MGFが存在する場合、それは$X$関連する多くの極値計算の基礎を提供します。（用である最も単純な$t\geq 0$）、

ここで、rhsは$t$にわたって最小化できます。奇妙なことに、この限界は、まれなイベントの見積もりを取得するために私たちが知っている数少ない簡単な方法の1つです。これの一般的な領域は、大きな偏差理論です。そこでは、より良い（よりタイトな）境界を取得するために大量の作業を行う必要があります。これの一般的な例は、$S_n=X_1+\cdots + X_n$を見ているため、$X_1$のMGFが存在する場合、P （| S n − E [ X ] | > n r ）を示すことができます。$P(|S_n-E[X]|>nr)$$n$指数関数的に減衰します。これは、より一般的にはCramerの定理として知られています。

これについての簡単なメモをいくつか示します。