ポアソン分布は安定しており、MGFの反転式はありますか？

まず、ポアソン分布が「安定」しているかどうかについて質問があります。非常に素朴です（そして「安定した」分布についてはあまり確信がありません）。MGFの積を使用して、ポアソン分散RVの線形結合の分布を計算しました。個々のRVのパラメーターの線形結合に等しいパラメーターを持つ別のポアソンを取得しているようです。したがって、ポアソンは「安定」していると結論付けます。何が欠けていますか？

次に、特性関数の場合と同様にMGFの反転式はありますか？

distributions poisson-distribution mgf

— フランク
ソース

（独立した）sumsの下で閉じられますが、任意の線形結合ではありません。あなたの仕事を含めると、その過程でその理由がわかると思います。そうでなければ、誰かがそれを指摘することができます。はい、特徴的な関数の反転に類似したものがあります。ラプラス変換とブロムウィッチ輪郭積分について何を知っていますか？

— 枢機卿

よし、製図板に戻る。私は次のようにi番目のポアソンのMGFを持っています：exp（lambda_i（exp（t）-1））。したがって、nポアソンMGFの積は次のようになります：exp（sum（i、0、n）alpha_i * lambda_i *（exp（t）-1））そして、新しいラムダ= sum（i、0、n）alpha_i * lambda_i。今、私は明らかな間違いを犯したことで愚かに見えるでしょう。-私はラプラス変換と輪郭統合一般について知っていますが、ブロムウィッシュ輪郭統合については知りません。-一般にMGFではなくCFを使用することをお勧めしますか？より強力なようです。

— フランク

コメントのは何ですか？また、math-LaTeXをドル記号で囲んで動作させる（\ expを使用して「exp」が正しく表示されるようにし、\ lambdaを使用して、\ sumをにするなど）

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

はい、私はLaTexがあまり得意ではありませんが、ここに行きます。したがって、RVの線形結合はであり、それらのMGFの積は、私が正しい場合、RVがとして配布されている場合。すべてのRVに同じtを使用しましたが、を使用する必要があります。

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— フランク

間違いは、のMGF があり、

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

回答:

ポアソン確率変数の線形結合

計算したように、速度ポアソン分布のモーメント生成関数は $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

ここで、独立したポアソン確率変数と線形結合に焦点を当てましょう。してみましょう。次に、 $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

したがって、レートがでレートが場合、あり、これは通常、の形式では記述できませんいくつかのためにない限り。 $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

モーメント生成関数の反転

モーメント母関数がゼロの近傍に存在する場合、ゼロの周りの無限ストリップに複素数値関数としても存在します。これにより、多くの場合、輪郭積分による反転が機能します。実際、非負の確率変数のラプラス変換 は、特に停止時間を分析するための確率過程理論における一般的なツールです。実数値、であることに注意してください。演習として、非負の確率変数は常にラプラス変換が存在することを証明する必要があります。 $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

次に、ブロムウィッチ積分またはポスト反転式のいずれかを介して反転を実行できます。後者の確率論的解釈は、いくつかの古典的な確率テキストの練習として見つけることができます。

直接関係はありませんが、次のメモにも興味があるかもしれません。

JH Curtiss（1942）、モーメント生成関数の理論に関するノート、アン。数学。統計 、巻。13、いいえ。4、pp。430–433。

関連する理論は、完全に一般的であるため、特性関数に対してより一般的に開発されます。それらは、サポートやモーメントの制限なしにすべての分布に対して存在します。

— 枢機卿
ソース

（+1）反転式は純粋に理論的ですか、それとも実際に使用されますか？

— gui11aume

@ gui11aume：場所で使用されます。しかし、テキストで一般的に見られる例は、通常、正確にそれを必要としない例です。:)

— 枢機卿

それで、おそらくMGFよりCFの方が簡単ですか？MGFは常に存在するとは限りませんよね？なぜそれらに悩むのですか？

— フランク

@フランク：教育的に、微積分学を知っているが、複雑な変数の背景がほとんどまたはまったくない生徒に紹介する方が簡単です。それらが存在する場合、それらはCFの特性と完全に類似した特性を持っています。それらは、確率論や理論統計のいくつかの部分で重要な役割を果たします。たとえば、大きな偏差や指数傾斜などです。

— 枢機卿

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

MGFの反転式は知りません（ただし、@ cardinalはそうです）。

— gui11aume
ソース

（+1）すぐに問題の核心に浮かぶ単純な例示的な証明と反例が好きだからです。

— 枢機卿、

用語について質問があります。統計学で私が研究したのは、安定法則と呼ばれる収束条件を満足する分布の限界である分布です。これらは連続的な非正規分布です。は正規化された平均Zの範囲の分布ですが、中心分布の定理は、人口分布の裾の振る舞いのためにZには適用されません。実際には中心極限定理が安定法に属することができるならば、特定のパラメータアルファ= 2

— マイケルR. Chernick

あなたがここで安定と呼んでいるものは、私にとっては無限に割り切れるという言葉のように思える合計の下でより近いものです。安定という用語はどの分野で使用されていますか？確率や統計で使われるようになりますか？

— Michael R.

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$