モーメント生成関数とフーリエ変換？

モーメント生成関数は、確率密度関数のフーリエ変換ですか？

言い換えれば、モーメント生成関数は、確率変数の確率密度分布のスペクトル分解能にすぎませんか。つまり、パラメーターではなく、振幅、位相、周波数で関数を特徴付ける同等の方法ですか。

もしそうなら、この獣に物理的な解釈を与えることができますか？

統計物理学では、モーメント生成関数の対数であるキュムラント生成関数が、物理システムを特徴付ける付加的な量であるためです。エネルギーを確率変数と考えると、その累積関数は、システム全体のエネルギーの広がりとして非常に直感的に解釈できます。モーメント生成関数に同様の直感的な解釈はありますか？

私はそれの数学的有用性を理解していますが、それは単なるトリックの概念ではなく、確かに概念的にはその背後に意味がありますか？

moments mgf cumulants

— ボルブテッパ
ソース

フーリエ変換によく似た特徴的な関数だと思います。モーメント生成関数はラプラス変換です。

— Placidia 2014年

興味深い：「ラプラス変換はフーリエ変換に関連していますが、フーリエ変換は関数または信号を振動モードに解決しますが、ラプラス変換は関数をモーメントに解決します」princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /…それから私は問題だと思います -ラプラス変換は関数をそのモーメントにどのように分解するのですか？これの幾何学的解釈はありますか？

— bolbteppa 2014年

これは、指数関数のテイラー級数展開により行われます。

— Placidia 2014年

今、すべてがほぼ理にかなっています！しかし、直感的に、瞬間とは正確には何ですか？私はこれを知っています。「広義には、サンプルが信号の平均値からどのように逸脱するかを考えることができます。最初の瞬間は実際には平均で、2番目の瞬間は分散などです...」dsp.stackexchange.com/a/ 11032しかし、それは直感的にどういう意味ですか？たとえば、x ^ 2の1st / 2nd / 3rd / 4thモーメント（x ^ 2のラプラス変換）を計算するときのサンプルは何ですか？幾何学的な解釈はありますか？

— bolbteppa 2014年

MGFは

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

$t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

$e^{itx}$ $e^{tx}$

$e^{-tx}$ $e^{tx}$

— ブライアン・ボーチャーズ
ソース

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

そしてもちろん、最も有用な特性は、2つの独立した確率変数の合計のMGFが、それらのモーメント生成関数の積であることです。これは、2つの関数のたたみ込みのフーリエ変換がそれらのフーリエ変換の積であるという規則と同等です。

— Brian Borchers、2014年