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語彙に注意してください：この質問では、「ハミルトニアン」という語がエルミート行列について語っています。 HHLアルゴリズムは、主に線形方程式系の解を見つけるという非常に重要な問題を解決するため、量子コンピューティングの分野で活発な研究対象となっているようです。 方程式の線形システムを解くための元の論文Quantumアルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）およびこのサイトでの質問 量子位相推定とHHLアルゴリズム-固有値に関する知識が必要ですか？ 線形連立方程式の量子アルゴリズム（HHL09）：ステップ2-初期状態の準備|Ψ0⟩|Ψ0⟩\vert \Psi_0 \rangleと|b⟩|b⟩\vert b \rangle HHLアルゴリズムは特定のケースに限定されています。以下に、HHLアルゴリズムの特性の要約（不完全かもしれません！）を示します。 HHLアルゴリズム HHLアルゴリズムは、方程式線形システム を解き ますが、次の制限があります。A|x⟩=|b⟩A|バツ⟩=|b⟩A \vert x \rangle = \vert b \rangle 制限：AAA AAAはエルミート行列である必要があります（エルミート行列のみが機能します。チャットでの議論を参照してください）。 [ 0 、1 ）AAAの固有値はある必要があります（量子位相推定とHHLアルゴリズム-固有値に関する知識が必要ですか？を参照）[0,1)[0,1)[0,1) は効率的に実装可能である必要があります。現時点では、この特性を満たす既知のマトリックスは次のとおりです。 eiAteiAte^{iAt} 地元のハミルトニアン（Universal Quantum Simulators（Lloyd、1996）を参照）。 疎なハミルトニアン（断熱量子状態生成と統計的ゼロ知識（Aharonov＆Ta-Shma、2003）を参照）。sss の制限：| B ⟩|b⟩\vert b \rangle 効率的に製造可能でなければなりません。これは次の場合です： | B ⟩|b⟩\vert b \rangle 特定の表現 B ⟩。たとえば、状態| B ⟩ = …

14 algorithm  hhl-algorithm  applications 

私はしばらくの間、有名な（？）論文の線形連立方程式の量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）（より一般的にはHHL09アルゴリズム論文として知られています）に頭を悩ませてきました。 最初のページで、彼らは言う： ここでアルゴリズムの基本的なアイデアをスケッチし、次のセクションで詳細に説明します。エルミート行列 Aと単位ベクトル→ bが与えられ、A → x = → bを満たす→ xを見つけたいと仮定します 。（効率に関する後の質問と、A および→ bについて行った仮定をどのように緩和できるかについて説明します。）最初に、アルゴリズムは量子状態として→ bを表し ます。B ⟩ = Σ N IN×NN×NN\times NAAAb⃗ b→\vec{b}x⃗ x→\vec{x}A x⃗ = b⃗ Ax→=b→A\vec{x} = \vec{b}AAAb⃗ b→\vec{b}b⃗ b→\vec{b}。次に、ハミルトニアンシミュレーション[3、4]の手法を使用してeiAtを|に適用します 。B私⟩異なる時間の重ね合わせのためのトン。Aをべき乗するこの能力は、位相推定のよく知られた手法[5–7]を介して、分解する能力に変換されます。B⟩ の固有基底でAおよび対応する固有値見つける λJ非公式には、この段階の後、システムの状態がクローズされましたΣ J =| B⟩= ΣNi = 1b私| 私は⟩|b⟩=∑i=1Nbi|i⟩|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\ranglee私はA トンeiAte^{iAt}| b私⟩|bi⟩|b_i\rangletttAAA| B⟩|b⟩|b\rangleAAAλjλj\lambda_j、Ujはの固有ベクトル基盤である Aと| B⟩=Σの J …

11 algorithm  hhl-algorithm  phase-estimation 

量子位相推定アルゴリズム（QPE）は、量子ゲートの所定の固有ベクトルに関連する固有値の近似計算。UUU 正式には、聞かせての固有ベクトルも、QPEは、私たちが見つけることができます、最高のビット近似ようにおよび |ψ⟩|ψ⟩\left|\psi\right>UUU|θ~⟩|θ~⟩\vert\tilde\theta\ranglemmm⌊2mθ⌋⌊2mθ⌋\lfloor2^m\theta\rfloorθ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle. HHLアルゴリズム（元の紙は）入力として行列取る満たすのことと量子状態と計算する線形システムの解をコードすることをです。AAAeiAt is unitary eiAt is unitary e^{iAt} \text{ is unitary } |b⟩|b⟩\vert b \rangle|x⟩|x⟩\vert x \rangleAx=bAx=bAx = b 備考：すべてのエルミート行列はの条件を統計化します。AAA そのために、HHLアルゴリズムは、表される量子ゲートでQPEを使用します。線形代数の結果のおかげで、がの固有値で場合、はの固有値であることがわかります。この結果は、量子線形システムアルゴリズムでも説明されています：プライマー（Dervovic、Herbster、Mountney、Severini、Usher＆Wossnig、2018）（29ページ、方程式68と69の間）。U=eiAtU=eiAtU = e^{iAt}{λj}j{λj}j\left\{\lambda_j\right\}_jAAA{eiλjt}j{eiλjt}j\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_jUUU QPEの助けを借りて、HLLアルゴリズムの最初のステップは、となるようにを推定しようとします。これにより、式 ie 分析することにより、条件と、私は（すなわち）の場合、位相推定アルゴリズムが失敗するという結論に終わりました正しい固有値を予測します。θ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)ei2πθ=eiλjtei2πθ=eiλjte^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, …

10 algorithm  hhl-algorithm  phase-estimation 

これは、の続きです何がある-ステップ2：方程式の線形システムに対する量子アルゴリズム（HHL09）？|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle 論文：線形方程式系の量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）では、アルゴリズムの実際の実装の詳細は示されていない。どのように正確に状態と| B ⟩作成され、ソート「であるブラックボックス」（ページ2-3を参照）。|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle|b⟩|b⟩|b\rangle |Ψ0⟩=2T−−√∑τ=0T−1sinπ(τ+12)T|τ⟩|Ψ0⟩=2T∑τ=0T−1sin⁡π(τ+12)T|τ⟩|\Psi_0\rangle = \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau = 0}^{T-1}\sin \frac{\pi (\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle および|b⟩=∑1Nbi|i⟩|b⟩=∑1Nbi|i⟩|b\rangle = \sum_{1}^{N}b_i|i\rangle ここでクロック・レジスタの初期状態であると | B ⟩入力レジスタの初期状態です。|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle|b⟩|b⟩|b\rangle （言う）IBM キュービット量子コンピューターでアルゴリズムを実行したい。161616そして、特定の方程式を解きたいここで、Aは実際のエントリを持つ4 × 4エルミート行列で、bは実際のエントリを持つ4 × 1列ベクトルです。Ax=bAx=b\mathbf{Ax=b}AA\mathbf{A}4×44×44\times 4bb\mathbf{b}4×14×14\times 1 例を見てみましょう： A = ⎡⎣⎢⎢⎢12３42156３5174671⎤⎦⎥⎥⎥A=[1234215635174671]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 & 6 \\ 3 & …

9 algorithm  ibm-q-experience  qiskit  hhl-algorithm 

これは、線形方程式系（HHL09）の量子アルゴリズムの続編です：ステップ1-線形方程式系（HHL09）の位相推定アルゴリズムと量子アルゴリズムの使用に関する混乱：ステップ1-必要な量子ビット数。 論文：線形方程式の量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）、その部分まで書いたもの 次のステップは、位相推定[5–7]を使用して、固有ベクトルベースでを分解することです。によって、（または同等に）の固有ベクトルと、によって対応する固有値を示します。|b⟩|b⟩|b\rangle|uj⟩|uj⟩|u_j\rangleAAAeiAteiAte^{iAt}λjλj\lambda_j ページは私にはある程度の意味があります（上記のリンク先の投稿で対処されるまでの混乱）。ただし、次の部分、つまり回転は少し不可解に見えます。R （λ - 1）222R(λ−1)R(λ−1)R(\lambda^{-1}) ましょう|Ψ0⟩:=2T−−√∑τ=0T−1sinπ(τ+12)T|τ⟩|Ψ0⟩:=2T∑τ=0T−1sin⁡π(τ+12)T|τ⟩|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle 大きな。の係数は、エラー分析で表示される特定の2次損失関数（詳細は[13]を参照）を最小化するように選択されます（以下[5-7]に従います）。| Ψ 0 ⟩TTT|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle 次に、条件付きハミルトニアン進化を 、ここで。 | Ψ 0 ⟩ C ⊗ | B ⟩ T 0 = O（κ / ε ）∑T−1τ=0|τ⟩⟨τ|C⊗eiAτt0/T∑τ=0T−1|τ⟩⟨τ|C⊗eiAτt0/T\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}|Ψ0⟩C⊗|b⟩|Ψ0⟩C⊗|b⟩|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\ranglet0=O(κ/ϵ)t0=O(κ/ϵ)t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon) 質問： 1.正確には何ですか？とは何を表していますか？この巨大な表現突然使用され、その使用方法がます。T τ √|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangleTTTττ\tau2T−−√∑τ=0T−1sinπ(τ+12)T|τ⟩2T∑τ=0T−1sin⁡π(τ+12)T|τ⟩\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin …

9 algorithm  hhl-algorithm  hamiltonian-simulation 

この質問は、量子位相推定とHHLアルゴリズムの続きです-必要な固有値に関する知識？。 上記の質問で、行列固有スペクトルに関する情報をHHLが考慮する必要性について質問しましたAAA。これは、HHLアルゴリズムが出てきたことを必要と固有値を持つ行列λj∈[0,1)λj∈[0,1)\lambda_j \in [0,1)正常に動作するが。 この条件に続いて、行列与えられAAA、HHLアルゴリズムを適用するために、以下の条件の1つをチェックする必要があります。 行列の固有値は、内のすべてのある[0,1)[0,1)[0,1)。 対(L,M)∈R2(L,M)∈R2(L,M) \in \mathbb{R}^2（のための下側から結合することLLLとのために上からMMM）の固有値λjλj\lambda_j行列のAAA。これらの境界は、条件1が検証されるように行列を再スケーリングするために使用できますAAA。 質問の最初のグループ：私はHHLに関する多くの論文を読みましたが、どれもこの制限について言及していませんでした。どうして？この制限は知られていますが、弱いと考えられていますか（つまり、この種の情報を入手するのは簡単です）？または、制限が不明でしたか？この制限について言及している研究論文はありますか？ 次に、HHLの複雑性分析について説明します。量子システムアルゴリズムリニア：プライマー（Dervovic、Herbster、Mountney、Severini、アッシャー＆Wossnig、2018）、HHL（およびいくつかの改良）の複雑さは、以下の画像に書かれています。 複雑度分析では、固有スペクトルに関する必要な知識が考慮されていません（少なくとも私は見つけられませんでした）。 考慮される行列がその固有値を分析的に推定するのに十分な特性を持っている場合はまれであり（少なくとも実際の行列では）、無視されます。 では、この答え、@DaftWullieは使用していますGershgorinの円定理を固有スペクトルの上限と下限を推定します。このアプローチの問題は、操作（O（√O(N)O(N)\mathcal{O}(N)振幅増幅が適用可能な場合）。この数の操作は、HHLの対数の複雑さを破壊します（同時に、従来のアルゴリズムよりも優れているだけです）。O(N−−√)O(N)\mathcal{O}(\sqrt{N}) 質問の2番目のグループ：複雑さに関してより良いアルゴリズムはありますか？そうでない場合、なぜHHLアルゴリズムが依然として従来のアルゴリズムよりも指数関数的に改善されているのですか？

9 algorithm  speedup  hhl-algorithm 

この質問に続き、同じ問題をシミュレートして解決するために、引用された記事を見てみましたが、成功しませんでした。主に、筆者がどのようにしてハミルトニアンの進化を図4の下部に示されている回路を介してシミュレーションできたかを理解できません。古典的に行列をべき乗しても、@ Blueが彼の質問に沿ってリンクしたQuirk回路に示されたゲートの値を取得しません。 グループリーダーの最適化アルゴリズムが説明されている論文を調べてみましたが、どのようにして異なるゲートに回転角度を割り当てるのか理解できません。

8 algorithm  quantum-gate  hhl-algorithm  hamiltonian-simulation 

これは、方程式の線形システム（HHL09）の量子アルゴリズムの続きです：ステップ1-位相推定アルゴリズムの使用に関する混乱 質問（続き）： パート2：HHL09のステップ1に必要なキュービットの数が正確にわかりません。 ニールセンとチュアン（セクション5.2.1、10周年記念版）では、次のように述べています。 したがって、少なくとも成功確率でビットに正確なを正常に取得するには、φφ\varphi1 − ϵnnn1−ϵ1−ϵ1-\epsilon t=n+⌈log(2+12ϵ)⌉t=n+⌈log⁡(2+12ϵ)⌉t=n+\lceil { \log(2+\frac{1}{2\epsilon})\rceil} したがって、精度、つまりおよびまたはのビットの精度が必要だとしましょう。必要1 − ϵ = 0.990%90%90\%3 λ jは T1−ϵ=0.9⟹ϵ=0.11−ϵ=0.9⟹ϵ=0.11-\epsilon = 0.9 \implies \epsilon = 0.1333 λjをλjt2πλjt2π\frac{\lambda_j t}{2\pi}λjλj\lambda_j t=3+⌈log2(2+12(0.1))⌉=3+3=6t=3+⌈log2⁡(2+12(0.1))⌉=3+3=6t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6 それとは別に、は、次元行列の線形独立した固有ベクトルの合計として表すことができるため、最小のキュービットが少なくとも次元のベクトル空間。したがって、2番目のレジスタには必要です。|b⟩|b⟩|b\rangleNNNN×NN×NN\times NAAA⌈log2(N)⌉⌈log2⁡(N)⌉\lceil{\log_2(N)\rceil}NNN⌈log2(N)⌉⌈log2⁡(N)⌉\lceil{\log_2(N)\rceil} さて、最初だけでなく、私たちの登録のための量子ビットが十分ではない表現するには固有値を私たちはそれぞれを表すために多くのビットを必要とするだろうからです、正確にビットまでです。⌈log2(N)⌉⌈log2⁡(N)⌉\lceil{\log_2(N)\rceil}NNN|λj⟩|λj⟩|\lambda_j\rangle|λj⟩|λj⟩|\lambda_j\ranglennn この場合も、式を再度使用する必要があると思い。各固有値をビットの精度とで表す場合n+⌈log(2+12ϵ)⌉n+⌈log⁡(2+12ϵ)⌉n+\lceil { \log(2+\frac{1}{2\epsilon})\rceil}|λi⟩|λi⟩|\lambda_i\rangle33390%90%90\%精度、我々は必要と思い最初のレジスタのために。さらに、補助装置に必要なもう1つのキュービット。6×⌈log2(N)⌉6×⌈log2⁡(N)⌉6\times \lceil{\log_2(N)\rceil} そこで、我々は全体の必要があるののための量子ビットステップ1のHHL09アルゴリズム。結構多い！(6+1)⌈log2(N)⌉+1(6+1)⌈log2⁡(N)⌉+1(6+1)\lceil{\log_2(N)\rceil}+1 私たちが解決したいと言うというように、線形方程式システムAは、自身が必要になることエルミートである7を⌈ ログ2（2 …

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