量子位相推定とHHLアルゴリズム-必要な固有値の知識？

量子位相推定アルゴリズム（QPE）は、量子ゲートの所定の固有ベクトルに関連する固有値の近似計算。 $U$

正式には、聞かせての固有ベクトルも、QPEは、私たちが見つけることができます、最高のビット近似ようにおよび $\left|\psi\right>$ $U$ $\vert\tilde\theta\rangle$ $m$ $\lfloor2^m\theta\rfloor$ $\theta \in [0,1)$

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

HHLアルゴリズム（元の紙は）入力として行列取る満たすのことと量子状態と計算する線形システムの解をコードすることをです。 $A$

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$

| b ⟩

$\vert b \rangle$

| x ⟩

$\vert x \rangle$

A x = b

$Ax = b$

備考：すべてのエルミート行列はの条件を統計化します。 $A$

そのために、HHLアルゴリズムは、表される量子ゲートでQPEを使用します。線形代数の結果のおかげで、がの固有値で場合、はの固有値であることがわかります。この結果は、量子線形システムアルゴリズムでも説明されています：プライマー（Dervovic、Herbster、Mountney、Severini、Usher＆Wossnig、2018）（29ページ、方程式68と69の間）。 $U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

QPEの助けを借りて、HLLアルゴリズムの最初のステップは、となるようにを推定しようとします。これにより、式 ie 分析することにより、条件と、私は（すなわち）の場合、位相推定アルゴリズムが失敗するという結論に終わりました正しい固有値を予測します。 $\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

ただし、は任意のエルミート行列にすることができるため、その固有値を自由に選択でき、特にQPEが失敗するように任意の大きな固有値を選択できます（）。 $A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

では量子回路設計方程式（曹操、Daskin、フランケル＆KAIS、2012）の線形システムを解決するための彼らは、シミュレートすることによってこの問題を解決する、の固有値ことを知っているある。彼らはの場合を避けるために行列（およびその固有値）を正規化しました。 $e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

一方、パラメーターを使用してこの正規化を行うことができるようです。 $t$

質問：私たちが行う必要が上限の固有値の知っている行列を正規化し、HHLアルゴリズムのQPEの一部が成功することを確認しますか？そうでない場合、QPEが確実に成功するようにするにはどうすればよいですか（つまり、）？ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— ネリミー
ソース

としましょう。ラムダが負になることはあり得ないと言っていますか？負の固有値を持つことの何が問題になっていますか？ととしましょう。次に、、およびです。の完全に有効な値。それの何が問題になっていますか？なぜは正またはなければならないのですか？固有値は負になる場合があります。

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

— user1271772 2018年

@ user1271772この場合、QPE が課すため、が負になることはありません。場合（負の固有値で行列を接続したため、これはもちろん可能です）、QPEの出力はではなくを、、つまり「 modulo」。これにより、HHLアルゴリズムが失敗します。

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

— Nelimee 2018年

固有値の上限（上限と下限の両方）を知っている必要があります。あなたが言うように、を再スケーリングすることでを正規化できます。実際、これを実行して、可能な限り最も正確な推定値を取得し、値を範囲全体に分散させる必要があります。通常、固有値の境界は問題になりません。たとえば、おそらく行列をスパースにする必要があるため、各行に非ゼロの行列要素が多すぎないようにします。実際、問題の仕様はおそらく、行ごとのゼロ以外のエントリの数と、エントリ最大値に制限を与えます。 $A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

次に、ガーシュゴリンの円定理のようなものを適用できます。これは、最大固有値がによって定められ、最小値がによって下限が定められていることをの行列要素である。

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

、値内で、大きな行列（たとえば、キュビット）について心配している場合、行の合計は簡単に計算できますが（エントリが少ないため）、すべての行の最大値に時間がかかる場合があります。時間（行があるため）、それを適切に近似するにはさまざまな方法があります（たとえば、サンプリング、または問題の構造の知識の使用）。最悪の場合、Groverの検索を使用して少し高速化できます。 $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
ソース

Groverは改善されていません。アルゴリズムを使用できる場合でも、クエリが必要です。これにより、従来の方法に対するHHLの指数関数的な改善が破棄され、2次の高速化に置き換えられます。したがって、残っている唯一の希望は、サンプリング（他のエラーの原因を紹介する）または祈ることであり、問題によって上限/下限を推定できることを願っています。アルゴリズムの大きな欠陥のようです。

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nelimee

確かに、私はグローバーがマックスを取得する素朴な方法と比較して平方根のスピードアップを提供することを意味していました。もちろん、これは全体の実行時間に悪影響を及ぼします。

— DaftWullie