線形連立方程式（HHL09）の量子アルゴリズム：ステップ1-必要なキュビットの数

これは、方程式の線形システム（HHL09）の量子アルゴリズムの続きです：ステップ1-位相推定アルゴリズムの使用に関する混乱

質問（続き）：

パート2：HHL09のステップ1に必要なキュービットの数が正確にわかりません。

ニールセンとチュアン（セクション5.2.1、10周年記念版）では、次のように述べています。

したがって、少なくとも成功確率でビットに正確なを正常に取得するには、 $\varphi$ $n$ $1-\epsilon$

$t = n + ⌈ \log (2 + \frac{1}{2 ϵ}) ⌉$ $t=n+\lceil { \log(2+\frac{1}{2\epsilon})\rceil}$

したがって、精度、つまりおよびまたはのビットの精度が必要だとしましょう。必要 $90\%$ $1-\epsilon = 0.9 \implies \epsilon = 0.1$ $3$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $\lambda_j$

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

それとは別に、は、次元行列の線形独立した固有ベクトルの合計として表すことができるため、最小のキュービットが少なくとも次元のベクトル空間。したがって、2番目のレジスタには必要です。 $|b\rangle$ $N$ $N\times N$ $A$ $\lceil{\log_2(N)\rceil}$ $N$ $\lceil{\log_2(N)\rceil}$

さて、最初だけでなく、私たちの登録のための量子ビットが十分ではない表現するには固有値を私たちはそれぞれを表すために多くのビットを必要とするだろうからです、正確にビットまでです。 $\lceil{\log_2(N)\rceil}$ $N$ $|\lambda_j\rangle$ $|\lambda_j\rangle$ $n$

この場合も、式を再度使用する必要があると思い。各固有値をビットの精度とで表す場合

n + ⌈ \log (2 + \frac{1}{2 ϵ}) ⌉

$n+\lceil { \log(2+\frac{1}{2\epsilon})\rceil}$

| λ_{i} ⟩

$|\lambda_i\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$ 精度、我々は必要と思い

最初のレジスタのために。さらに、補助装置に必要なもう1つのキュービット。

6 \times ⌈ \log_{2} (N) ⌉

$6\times \lceil{\log_2(N)\rceil}$

そこで、我々は全体の必要があるののための量子ビットステップ1のHHL09アルゴリズム。結構多い！ $(6+1)\lceil{\log_2(N)\rceil}+1$

私たちが解決したいと言うというように、線形方程式システム自身が必要になることエルミートである量子ビットを！ケースで私たちも、より多くの量子ビットを必要とするだろうエルミートではありません。私は正しいですか？ $2\times 2$ $A$ $7\lceil{\log_2(2)\rceil}+1 = 8$ $A$

しかしながら、この^{[ ] $\dagger\dagger$} 6ページ紙それらが使用されると主張HHL09アルゴリズムの擬似推定するサイズの〜。その論文では、は次のように定義されています。 $A$ $200\times 200$ $A$

A := (\begin{matrix} W - γ I_{d} & P \\ P & 0 \end{matrix})

$A := \begin{pmatrix} W - \gamma \Bbb I_d & P \\ P & 0 \end{pmatrix}$

ここで、、、およびはすべて行列です。 $P$ $W$ $\Bbb I_d$ $d\times d$

H1N1に関連してシミュレートされたロイド他。作成したと主張している、。さらに、HHL09アルゴリズムを使用して、（サイズ）の疑似逆行列を推定したと主張しています。すなわち、最低必要となる $d = 100$ $A$ $200\times 200$ $7\lceil{\log_2(200)\rceil}+1 = 7(8)+1 = 57$ シミュレートするキュビット。現在の量子コンピューターや量子コンピューターシミュレーションを使用して、彼らがそれをどのように行うことができるのか私にはわかりません。私の知る限り、現在、IBM Q Experienceはキュビットをサポートしています（これも、キュービットバージョンほど用途が広いわけではありません）。 $15$ $5$

ここで何か不足していますか？このステップ1は実際に私が見積もったよりも少ない数のキュービットを必要としますか？

[ ]：A量子ホップフィールドニューラルネットワークロイドら。（2018） $\dagger\dagger$

algorithm hhl-algorithm neural-network

— サンチャヤンドゥッタ
ソース

@Nelimeeこと

式から来る

6

$6$

。これは、それぞれを表すために必要な「最初のレジスタ」内のキュビットの数を示します

か

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

に

精度の-bitsとを有する

精度。

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

— Sanchayan Dutta

私の答えは今では取るに足らないものに見えるかもしれませんが、とりわけ、論文が明確ではなかったため、すべてを理解するのに実際に3日かかりました。私は今でも適切なキュービット数を持っていると思います。その結果、このH1N1論文の著者が必要なキュービット数を簡単にシミュレートできる理由が明らかになります（少なくとも「ステップ1」で）。

— user1271772

行列の逆行列の計算は、異なる HHLを適用することで実行できます（具体的には、HHLは、として使用される計算基底ベクトルごとに1回、回適用されます）。 $N\times N$ $N$ $\vec{b}_i$ $N$ $\vec{b}_i$

いずれの場合も、行列に対して位相推定を行う必要があります。 $N \times N$

位相推定に必要なキュービット数は、N＆C 10周年記念版の249ページに記載されています。

「量子位相推定手順は2つのレジスタを使用します。最初のレジスタにはキュビットが含まれています。」 $t$

「第2のレジスタ[...]記憶しておく必要があるとして、多くの量子ビットとして含まれているが」、どこである次元ベクトル。 $|u\rangle$ $|u\rangle$ $N$

したがって、最初のレジスタにはキュビットが必要であり、2番目のレジスタにはキュビットが必要であることは間違いありません。 $6$ $\log N=8$

これは、マトリックスの逆数の計算に含まれる各HHL反復の位相推定部分を実行するための合計14キュービットです。14キュビットは、ラップトップの機能の範囲内です。

— ユーザー1271772
ソース

IBM Quantum Experienceで少し遊んだ以外は、シミュレーションの経験はあまりありません。14キュビットのシミュレーションに何を使用しますか？今まで、

超える行列の回路モデルを見たことがありません。ハミルトニアンシミュレーションは、HHLの最も難しい部分のように見えます。

4 \times 4

$4\times 4$

— Sanchayan Dutta

コメントでは、「シミュレーション」の2つの異なる意味が使用されています。「ハミルトニアンシミュレーション」はHHLの一部であり、これは、たとえば、このセクション4.2のキュービットで行われます。「14キュビットのシミュレーションに何を使用しますか」というのは、キュビットではなく古典的なビットを使用する別のタイプのシミュレーションを指します。これは、H1N1論文の著者が行ったものです。彼らは

行列を生成し（おそらくMATLABでテンソル積を行うKRON関数を使用）、4x4の場合と同じようにQCをシミュレーションしました

2^{14} \times 2^{14}

$2^{14} \times 2^{14}$

— user1271772

はい、ハミルトニアンシミュレーションがHHLの一部であることを知っています。しかし、私は彼らがIBM 16キュービットまたはIBM 20キュービットバージョンのような実際の量子コンピューターを使用していたのかと思っていました。MATLABのそのKRON関数は興味深いように聞こえます（ただし、古典的です）が、IBM 16キュービット1（残念ながら、必要なすべてのゲートがない）でそれを実行する可能性を考えていたので、ゲートを概算する必要があります（方法は完全にはわかりません）。

— Sanchayan Dutta

さらに、キュービット数の推定には別の問題があると思います。「ここでの問題は、固定精度と非固定次元Nから生じます。彼は固定精度を持っているので、

（または

）キュービットでエンコードできます。与えられた精度の固有値ですが、

（または

）を超える固有値を持っている可能性があります（これに関するチャットの説明を参照してください）。

3

$3$

6

$6$

2^{3}

$2^3$

2^{6}

$2^6$

— Sanchayan Dutta

IBMを使用している場合、それは論文でそう述べられています。「IBM」を検索しても何も表示されません。より多くの論文を読み、経験を積むにつれて、誰かが量子コンピューターを使用したり、単にコンピューターをシミュレートしたりすると、それはますます明白になります。ここでは、古典的なコンピューターで（おそらくMATLABを使用して）シミュレーションしました。「キュビット数の見積もりの問題」については、残念ながら問題が何なのかわかりません。200 x 200マトリックスの位相推定に必要なキュービットの数を指定しました。N＆Cそれは、レジスタ2のレジスタ1及びlog_2のt量子ビット（N）であると言う

— user1271772