線形連立方程式の量子アルゴリズム（HHL09）：ステップ1-位相推定アルゴリズムの使用に関する混乱

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私はしばらくの間、有名な（？）論文の線形連立方程式の量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）（より一般的にはHHL09アルゴリズム論文として知られています）に頭を悩ませてきました。

最初のページで、彼らは言う：

ここでアルゴリズムの基本的なアイデアをスケッチし、次のセクションで詳細に説明します。エルミート行列と単位ベクトル与えられ、を満たすを見つけたいと仮定します。（効率に関する後の質問と、およびついて行った仮定をどのように緩和できるかについて説明します。）最初に、アルゴリズムは量子状態としてを表します $N\times N$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{x}$ $A\vec{x} = \vec{b}$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{b}$ 。次に、ハミルトニアンシミュレーション[3、4]の手法を使用してをに適用します異なる時間の重ね合わせのための。をべき乗この能力は、位相推定のよく知られた手法[5–7]を介して、分解する能力に変換されますの固有基底でおよび対応する固有値見つける非公式には、この段階の後、システムの状態がクローズされました $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$ $e^{iAt}$ $|b_i\rangle$ $t$ $A$ $|b\rangle$ $A$ $\lambda_j$ 、の固有ベクトル基盤であると。 $\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$ $u_j$ $A$ $|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

ここまでは順調ですね。で説明したようにニールセン＆荘「の章で量子フーリエ変換とその応用」、位相推定アルゴリズムを推定するために使用されるにおける固有ベクトルに対応する固有値であるがユニタリ演算子の。 $\varphi$ $e^{i2\pi \varphi}$ $|u\rangle$ $U$

Nielsen＆Chuangからの関連部分は次のとおりです。

位相推定アルゴリズムは2つのレジスタを使用します。最初のレジスタには、最初は状態のキュービットが含まれています。どのように選択するかは、推定値に精度の桁数と、位相推定手順を成功させる確率との2つに依存します。これらの量へのの依存性は、次の分析から自然に現れます。 $t$ $|0\rangle$ $t$ $\varphi$ $t$

2番目のレジスタは、次の状態で始まりますと記憶しておく必要があるとして、多くの量子ビットとして含まれています。位相推定は2段階で実行されます。まず、図5.2に示す回路を適用します。-回路はアダマール制御の適用に続いて最初のレジスタ、変換を適用することにより始まる用いて、第2のレジスタに操作両者の連続パワーに上昇しました。最初のレジスタの最終状態は、次のように簡単にわかります。 $|u\rangle$ $|u\rangle$ $U$ $U$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} exp (2 π i φ k) | k ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$

位相推定の2番目の段階は、最初のレジスタに逆量子フーリエ変換を適用することです。これは、前のセクション（演習5.5）の量子フーリエ変換の回路を逆にすることで得られ、ステップで実行できます。位相推定の3番目の最終段階は、計算ベースで測定を行うことにより、最初のレジスタの状態を読み取ることです。これがかなり良い推定値を提供することを示します。アルゴリズムの全体図を図5.3に示します。 $\Theta (t^2)$ $\varphi$

位相推定が働く理由として私たちの直感をシャープにするには、仮定通り、正確にint型のビットを表現することができる。次に、位相推定の最初の段階から生じる状態（5.20）を書き換えることができます。 $\varphi$ $\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t - 1} φ_{t} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{1} . . . φ_{t} | 1 ⟩)$ $\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$
位相推定の第2段階では、逆量子フーリエ変換を適用します。しかし、前の方程式とフーリエ変換の式（5.4）を比較すると、2番目のステージからの出力状態は製品状態であることがわかります。したがって、計算ベースで測定すると、正確にが得られます！ $|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$ $\varphi$

$\varphi$ $U$ $|u\rangle$

$\frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{j = 0}^{2^{t} - 1} \exp (2 π i φ j) | j ⟩ | u ⟩ \to | \tilde{φ} ⟩ | u ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$

^$\dagger$

ステップ1（位相推定）：

$A$ $A$ $e^{iAt}$ $A$

$U=e^{iAt}$ $|u_j\rangle$ $U$ $N\times N$ $N$ $A$ $\lambda_j$ $e^{iAt}$ $e^{i \lambda_j t}$ $U$ $e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ $\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $|b\rangle$ $U$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $|u_j\rangle$ $U$ $|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ $|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$ $|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$ $\lambda_j$ $|u_j\rangle$ $A$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

質問：

$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

ここで何が欠けていますか？の因子はどこでしたか $\frac{t}{2\pi}$

編集： ここでは、個々の質問をより集中させるためにパート2を依頼しました。

^{また、HHL09アルゴリズムのステップ2とステップ3についてもいくつかの混乱がありますが、この質問が長すぎて別の質問スレッドとして投稿することにしました。これらの質問スレッドへのリンクを作成したら、この投稿に追加します。}

$\dagger$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— サンチャヤン・ドゥッタ
ソース

1

6

$6$

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

5

論文次第ですが、2つのアプローチを見ました。

$t$ $t = t_0 = 2\pi$
$\tilde \lambda$ $\lambda$ $\frac{t}{2\pi}$ $\tilde \lambda$ $\frac{\lambda t}{2\pi}$

リンクは次のとおりです。

$t$ $2\pi$
$t$ $t_0$ $2\pi$
$t = 2\pi$
$t_0 = 2\pi$

— ネリミー
ソース

2

ここで何が欠けていますか？の因子はどこでしたか $\frac{t}{2\pi}$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $\lambda t/(2\pi)$ $A$ $\lambda$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $A$ $\lambda\rangle$

$|\tilde\lambda\rangle$

— ダフトウォリー
ソース