HHLアルゴリズム—固有スペクトルに必要な知識が主な欠点にならないのはなぜですか？

^{この質問は、量子位相推定とHHLアルゴリズムの続きです-必要な固有値に関する知識？。}

上記の質問で、行列固有スペクトルに関する情報をHHLが考慮する必要性について質問しました$A$。これは、HHLアルゴリズムが出てきたことを必要と固有値を持つ行列$\lambda_j \in [0,1)$正常に動作するが。

この条件に続いて、行列与えられ$A$、HHLアルゴリズムを適用するために、以下の条件の1つをチェックする必要があります。

1. 行列の固有値は、内のすべてのある$[0,1)$。
2. 対$(L,M) \in \mathbb{R}^2$（のための下側から結合すること$L$とのために上から$M$）の固有値$\lambda_j$行列の$A$。これらの境界は、条件1が検証されるように行列を再スケーリングするために使用できます$A$。

質問の最初のグループ：私はHHLに関する多くの論文を読みましたが、どれもこの制限について言及していませんでした。どうして？この制限は知られていますが、弱いと考えられていますか（つまり、この種の情報を入手するのは簡単です）？または、制限が不明でしたか？この制限について言及している研究論文はありますか？

次に、HHLの複雑性分析について説明します。量子システムアルゴリズムリニア：プライマー（Dervovic、Herbster、Mountney、Severini、アッシャー＆Wossnig、2018）、HHL（およびいくつかの改良）の複雑さは、以下の画像に書かれています。

複雑度分析では、固有スペクトルに関する必要な知識が考慮されていません（少なくとも私は見つけられませんでした）。

考慮される行列がその固有値を分析的に推定するのに十分な特性を持っている場合はまれであり（少なくとも実際の行列では）、無視されます。

では、この答え、@DaftWullieは使用していますGershgorinの円定理を固有スペクトルの上限と下限を推定します。このアプローチの問題は、操作（O（$\mathcal{O}(N)$振幅増幅が適用可能な場合）。この数の操作は、HHLの対数の複雑さを破壊します（同時に、従来のアルゴリズムよりも優れているだけです）。$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

質問の2番目のグループ：複雑さに関してより良いアルゴリズムはありますか？そうでない場合、なぜHHLアルゴリズムが依然として従来のアルゴリズムよりも指数関数的に改善されているのですか？

$\kappa$$\kappa = |\lambda_{\rm{max}}/\lambda_{\rm{min}}|$$\lambda_{\rm{max}}$$\lambda_{\rm{min}}$

$Ax=b$$\epsilon$

$\lambda_{\rm{max}} < M$$\lambda_{\rm{min}}>L$

$|\psi\rangle$$t=10$$H$$|b\rangle$

$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$A = e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}$$|\psi\rangle = |x\rangle$

$(L,M)$$e^{0}=1$$L=1$$M = e^{-\frac{i}{\hbar} 10 \rm{eV} \cdot 10 \rm{ps}}$$M$$A$$|\psi\rangle$）。私は分子の解離エネルギーを使用して、その振動エネルギーの限界を考え出しました。半古典的なWKB近似を使用することで、より適切な境界を考え出すこともでき、実際に固有値を計算するよりもはるかにコストがかかりませんが、最初の例で十分です。

それでは、個々の質問すべてに取り組みましょう。

質問の最初のグループ：私はHHLに関する多くの論文を読みましたが、どれもこの制限について言及していませんでした。どうして？この制限は知られていますが、弱いと考えられていますか（つまり、この種の情報を入手するのは簡単です）？または、制限が不明でしたか？この制限について言及している研究論文はありますか？

元のHHL論文を（現時点で）引用している539論文のうち、それらの多くは、条件数または固有値に対するその性能の依存性などの詳細を知りません。一部の論文は、アルゴリズムのパフォーマンスが行列の条件数または固有値、つまりHHLアルゴリズムの改善に関する表にリストされている論文に依存することを確実に知っています。Robin Kothariは、たとえば、2016年のCKSアルゴリズム（表に記載されています）に関する講演の冒頭でそれについても言及しました。

質問の2番目のグループ：複雑さに関してより良いアルゴリズムはありますか？そうでない場合、なぜHHLアルゴリズムが依然として従来のアルゴリズムよりも指数関数的に改善されているのですか？

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$$N$$s \lll N$$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

あなたは正しい、人々は彼らの論文でより頻繁にアルゴリズムの警告に言及すべきです。あなたの特定の質問に関して、「なぜHHLアルゴリズムは依然として古典的なアルゴリズムよりも指数関数的な改善として提示されているのですか？」私は、元の著者であるHHLがアルゴリズムとその警告を説明する際にデューディリジェンスを行ったと思います。スケーリングしますが、コストは条件数とスパース性に比例して増加し、許容できるエラーのサイズに反比例します。HHL後の他のほとんどの人がすべての警告に言及しないのはなぜですか？それらの多くは警告を知らず、条件番号の計算はアルゴリズムの一部ではないため、警告を必要としない人もいるでしょう。条件番号を知ることで、アルゴリズムがどの程度うまく機能するかがわかります。