^{語彙に注意してください：この質問では、「ハミルトニアン」という語がエルミート行列について語っています。}

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HHLアルゴリズムは、主に線形方程式系の解を見つけるという非常に重要な問題を解決するため、量子コンピューティングの分野で活発な研究対象となっているようです。

方程式の線形システムを解くための元の論文Quantumアルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）およびこのサイトでの質問

• 量子位相推定とHHLアルゴリズム-固有値に関する知識が必要ですか？
• 線形連立方程式の量子アルゴリズム（HHL09）：ステップ2-初期状態の準備$\vert \Psi_0 \rangle$と$\vert b \rangle$

HHLアルゴリズムは特定のケースに限定されています。以下に、HHLアルゴリズムの特性の要約（不完全かもしれません！）を示します。

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HHLアルゴリズム

HHLアルゴリズムは、方程式線形システム を解き ますが、次の制限があります。

$$A \vert x \rangle = \vert b \rangle$$

制限：$A$

• $A$はエルミート行列である必要があります（エルミート行列のみが機能します。チャットでの議論を参照してください）。
• [ 0 、1 $A$の固有値はある必要があります（量子位相推定とHHLアルゴリズム-固有値に関する知識が必要ですか？を参照）$[0,1)$
• は効率的に実装可能である必要があります。現時点では、この特性を満たす既知のマトリックスは次のとおりです。 $e^{iAt}$
  • 地元のハミルトニアン（Universal Quantum Simulators（Lloyd、1996）を参照）。
  • 疎なハミルトニアン（断熱量子状態生成と統計的ゼロ知識（Aharonov＆Ta-Shma、2003）を参照）。$s$

の制限：$\vert b \rangle$

• 効率的に製造可能でなければなりません。これは次の場合です： $\vert b \rangle$
  1. 特定の表現 B ⟩。たとえば、状態| B ⟩ = N ⨂私は= 0を（| 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ 効率的に準備できます。 $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. （参照効率積分確率分布の離散化を表す効率的積分確率分布（グローバー＆ルドルフ、2002）に対応する重ね合わせを作成します）。$\vert b \rangle$

の制限（出力）：$\vert x \rangle$

• 測定によって完全に回復することはできません。回復できる唯一の情報 | X ⟩「一般情報」など（「期待値」は、元のHHL紙で使用される用語である）である ⟨ X | M | X $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

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質問：これらの制限をすべて 考慮に入れて、耐障害性のある大規模な量子チップ（つまり、ハードウェアに制限されない）で2050年（または、おそらく2025年に、誰が知っていますか？） HHLアルゴリズムは解決できますか（HHLがサブルーチンとしてのみ使用される問題を含む）？

私は、2Dターゲット（Scherer、Valiron、Mau、Alexander、van den Berg＆Chapuran、2016）の電磁散乱断面積を計算するために使用される量子線形システムアルゴリズムの論文コンクリートリソース分析と、それに対応する実装を認識していますQuipperプログラミング言語は、と私はHHLが実際に適用可能であろう他の実例を探しています。私は、出版された論文、未発表の論文さえも必要とせず、現実世界のユースケースのいくつかの例を持ちたいだけです。

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編集：

すべてのユースケースに興味があるとしても、HHLが直接使用される、つまり他のアルゴリズムのサブルーチンとして使用されないいくつかの例を好むでしょう。

HHLで解決できる微分演算子の離散化の結果として生じる線形システムの例に、私はさらに興味を持っています。

しかし、あなたが知っているすべてのユースケース（サブルーチンかどうか）に興味があることをもう一度強調しましょう。

数年前、Montanaro and PallisterによるQuantumアルゴリズムと有限要素法で、HHLアルゴリズムを「境界値の解の数値近似を効率的に見つけるための手法」である有限要素法（FEM）に適用できることが示されました。有限メッシュ」を介してパラメータ空間を離散化に基づく偏微分方程式のための問題（なBVP） 。

彼らは、このコンテキスト内で、HHLを使用して（おそらくせいぜい）標準的な古典的なアルゴリズム（「共役勾配法」）よりも多項式の高速化を実現できることを示しました。

現実のユースケースに関して、彼らはそれを述べています

$n$

$A$

Rebentrost et al。最近、A Quantum Hopfield Neural Network（2018）の論文でHHL09アルゴリズムを使用して、Hopfieldネットワークのエネルギー関数を最適化しました。

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx - \lambda^T (Px - x^{\text{(inc)}}) + \frac{\gamma}{2}x^T x$$ then the optimization equations $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$ and $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$ can be written in the form $A \mathbf{v} = \mathbf{w}$. Note that the $\gamma$ in the expression is the regularization parameter. We need to find $\mathbf{v}$ which extremizes network energy subject to the constraint $Px = x^{(\text{inc})}$したがって、マトリックス反転手法が必要です。論文では、彼らはまさにそれを行っており、マトリックスの反転にはHHL09アルゴリズムを使用しました。論文の4ページを参照してください。

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要するに、十分な数のキュービットとデコヒーレンス時間を備えた量子コンピューターがあれば、HHLアルゴリズムは、量子機械学習アルゴリズム（ほとんどすべての機械学習とニューラルネットワークのための最も有用なサブルーチンの1つになるアルゴリズムには、「勾配降下」または「最適化」の形式が含まれます）。