方程式の線形システム（HHL09）の量子アルゴリズム：ステップ2-初期状態の準備

^{これは、の続きです何がある-ステップ2：方程式の線形システムに対する量子アルゴリズム（HHL09）？$|\Psi_0\rangle$}

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論文：線形方程式系の量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）では、アルゴリズムの実際の実装の詳細は示されていない。どのように正確に状態と| B ⟩作成され、ソート「であるブラックボックス」（ページ2-3を参照）。$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$

$$|\Psi_0\rangle = \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau = 0}^{T-1}\sin \frac{\pi (\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

および

$$|b\rangle = \sum_{1}^{N}b_i|i\rangle$$

ここでクロック・レジスタの初期状態であると | B ⟩入力レジスタの初期状態です。$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$

（言う）IBM キュービット量子コンピューターでアルゴリズムを実行したい。$16$そして、特定の方程式を解きたいここで、Aは実際のエントリを持つ4 × 4エルミート行列で、bは実際のエントリを持つ4 × 1列ベクトルです。$\mathbf{Ax=b}$$\mathbf{A}$$4\times 4$$\mathbf{b}$$4\times 1$

例を見てみましょう：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 1 & 7 \\ 4 & 6 & 7 & 1 \end{bmatrix}$$

そして

$$\mathbf{b}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$

寸法は、所与の及びBを、我々は必要べき⌈ ログ2 4 ⌉ = 2入力レジスタの量子ビットと他の6つの我々は、固有値はで表すことにすると仮定レジスタクロックに量子ビットを90 ％の精度、最大3ビット精度固有値の場合（これは以前にここで説明されています）。したがって、合計2 + 6 + 1 = 9キュビットがこの目的に必要になります（追加の1キュビットは補助です）。$\mathbf{A}$$\mathbf{b}$$\lceil{\log_2 4\rceil}=2$$6$$90\%$$3$$2+6+1=9$$1$

質問：

1. この情報を使用して、それが可能な初期状態を作成しますと| B ⟩ IBMに16量子ビット版？$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$$16$

2. が大きすぎてIBM量子コンピューターに実装できないと思われる場合は、2 × 2エルミート行列Aの初期状態の準備の例を示すこともできます（または、そのような例への参照を示します）。$4\times 4$$2\times 2$$\mathbf{A}$

IBM 16キュービット量子コンピューターでこれが可能かどうか（つまり、それが可能かどうか）と、そのために必要なゲートについての一般的な考えを知りたいだけです。IBM 16キュービット量子コンピューターでない場合、QISKitシミュレーターを使用して初期状態の準備を再作成できますか？Ψ 0 ⟩と| b H HHLアルゴリズムで？これを実行する他のより良い代替手段はありますか？$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$

$\left| \Psi_0\right>$$\left|b\right>$ IBMチップによって実装されたゲートがこの可能性を提供するため、可能です。

ここでは、2つの異なる量子状態を要求します。

1. $\left| b \right>$$\left| b \right>$$N$
2. $\left| \Psi_0 \right>$$\left| b \right>$$b_i$

$\left|b\right>$$\left| \Psi_0 \right>$$\left| \Psi_0 \right>$$\left| \Psi_0 \right>$

$\left|b\right>$$\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$$\left|\Psi_0\right>$

QISKitでの実装のために、与えられた量子状態を初期化するサンプルを以下に示します。

import qiskit

statevector_backend = qiskit.get_backend('local_statevector_simulator')

###############################################################
# Make a quantum program for state initialization.
###############################################################
qubit_number = 5
Q_SPECS = {
    "name": "StatePreparation",
    "circuits": [
        {
            "name": "initializerCirc",
            "quantum_registers": [{
                "name": "qr",
                "size": qubit_number
            }],
            "classical_registers": [{
                "name": "cr",
                "size": qubit_number
            }]},
    ],
}
Q_program = qiskit.QuantumProgram(specs=Q_SPECS)

## State preparation
import numpy as np
from qiskit.extensions.quantum_initializer import _initializer

def psi_0_coefficients(qubit_number: int):
    T = 2**qubit_number
    tau = np.arange(T)
    return np.sqrt(2 / T) * np.sin(np.pi * (tau + 1/2) / T)

def get_coeffs(qubit_number: int):
    # Can be changed to anything, the initialize function will take
    # care of the initialisation.
    return np.ones((2**qubit_number,)) / np.sqrt(2**qubit_number)
    #return psi_0_coefficients(qubit_number)

circuit_prep = Q_program.get_circuit("initializerCirc")
qr = Q_program.get_quantum_register("qr")
cr = Q_program.get_classical_register('cr')
coeffs = get_coeffs(qubit_number)
_initializer.initialize(circuit_prep, coeffs, [qr[i] for i in range(len(qr))])

res = qiskit.execute(circuit_prep, statevector_backend).result()
statevector = res.get_statevector("initializerCirc")
print(statevector)

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¹ここで「エラー」とは、完全な量子コンピューターを扱うときの理想的な状態と近似の間のエラーを指します（つまり、デコヒーレンスなし、ゲートエラーなし）。

4 x 4行列AのHHLアルゴリズムは、IBMコンピューターでは大きすぎる場合があります。arXiv 1302.1210 link 線形方程式の解法システムによるアルゴリズムの小さなおもちゃバージョンを試しました

私はこのスタックエクスチェンジでこの回路について少し説明しました：https ://cs.stackexchange.com/questions/76525/could-a-quantum-computer-perform-linear-algebra-faster-than-a-classical-computer/ 77036＃77036

残念ながら、これはA = 2 x 2行列の1量子ビット入力に過ぎず、答えにはIBM回路へのリンクが示されています。