線形連立方程式（HHL09）の量子アルゴリズム：ステップ2-？

^{これは、線形方程式系（HHL09）の量子アルゴリズムの続編です：ステップ1-線形方程式系（HHL09）の位相推定アルゴリズムと量子アルゴリズム}^{の使用に関する混乱}^{：ステップ1-必要な量子ビット数}。

論文：線形方程式の量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）、その部分まで書いたもの

次のステップは、位相推定[5–7]を使用して、固有ベクトルベースでを分解することです。によって、（または同等に）の固有ベクトルと、によって対応する固有値を示します。 $|b\rangle$ $|u_j\rangle$ $A$ $e^{iAt}$ $\lambda_j$

ページは私にはある程度の意味があります（上記のリンク先の投稿で対処されるまでの混乱）。ただし、次の部分、つまり回転は少し不可解に見えます。 $2$ $R(\lambda^{-1})$

ましょう
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
大きな。の係数は、エラー分析で表示される特定の2次損失関数（詳細は[13]を参照）を最小化するように選択されます（以下[5-7]に従います）。 $T$ $|\Psi_0\rangle$

次に、条件付きハミルトニアン進化を、ここで。 $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

質問：

1.正確には何ですか？とは何を表していますか？この巨大な表現突然使用され、その使用方法がます。 $|\Psi_0\rangle$ $T$ $\tau$

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$

2. 位相推定ステップの後、システムの状態は明らかに次のようになります。

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

これは確かにとして書き込むことはできません ie

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

したがって、 2番目のレジスターで個別に使用できないことは明らかです。そのため、ような状態をどのように準備しているのか、私にはわかりません！また、何をしても、そのの上付き文字で意味？ $|b\rangle$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $C$ $|\Psi_0\rangle^{C}$

3.この式はどこから突然現れますか？それをシミュレートする用途は何ですか？そして、何ですで？ $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $\kappa$ $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— サンチャヤンドゥッタ
ソース

回答:

1.定義

この回答で使用される名前と記号は、Quantum線形システムアルゴリズムで定義されているものに従います：プライマー（Dervovic、Herbster、Mountney、Severini、Usher＆Wossnig、2018）。リコールは以下で行われます。

1.1登録名

レジスタ名は、の図5に定義されているシステムアルゴリズム線形量子：プライマー（Dervovic、Herbster、Mountney、Severini、アッシャー＆Wossnig、2018）（以下、再生しました）：

$S$ （1キュービット）は、出力が有効かどうかを確認するために使用される補助レジスタです。
$C$ （キュビット）はクロックレジスタです。つまり、量子位相推定（QPE）でハミルトニアンの固有値を推定するために使用されるレジスタです。 $n$
$I$ （キュービット）は、方程式の右辺を格納するレジスタです。アルゴリズムの最後でがであると測定された場合、方程式の結果である格納します。 $m$ $Ax = b$ $x$ $S$ $\left|1\right>$

2.： $\left|\Psi_0\right>$

とは正確には何ですか？ $\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$ は、クロックレジスタ初期状態の1つです。 $C$
とは何を表していますか？ $T$ $\tau$

$T$ は大きな正の整数を表します。の式は、が無限大に成長する際の特定のエラーを漸近的に最小化するため、このはできるだけ大きくする必要があります。表現で、なります、量子クロックのための可能な状態の数。 $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $2^n$ $C$

$\tau$ は単なる合計インデックスです
なぜこのような巨大な式があるのですか？ $\left|\Psi_0\right>$

詳細については、DaftWullieの投稿を参照してください。

方程式の線形システムの量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009 v3）の引用に従って、次のようになります。
1. 線形連立方程式用の同じ論文の量子アルゴリズムの以前のバージョン（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009 v2）。著者はこの論文を2回改訂し（元のHHL論文には3つのバージョンがあります）、バージョンn°3には以前のバージョンで提供されたすべての情報が含まれていません。V2（セクションA.3。17ページ以降）では、この特別な初期状態でエラーの詳細な分析を提供しています。
2. 最適な量子時計（Buzek、Derka、Massar、1998）。式は、式10でとして与えられてい。この部分は完全に理解していますが、この表現はある意味で「最適」なようです。 $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_{opt}\right>$

3.準備： $\left|\Psi_0\right>$

前の部分で述べたように、は初期状態です。彼らは、位相推定手順の後に準備しません。文の順序は、論文では本当に最適ではありません。彼らが論文で使用する位相推定手順は、パート1でリンクされた量子回路で表される「古典的な」位相推定アルゴリズムとは少し異なるため、詳細に説明します。 $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_0\right>$

それらの位相推定アルゴリズムは次のとおりです。

レジスタ状態を準備します。 $\left|\Psi_0\right>$ $C$
条件付きハミルトニアン進化をレジスターと適用します（これらは状態）。 $C$ $I$ $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
量子フーリエ変換を結果の状態に適用します。

最後に、では、州意味しますはレジスタ格納されます。これは、使用されるレジスターを追跡するための短くて便利な表記です。 $C$ $\left| \Psi_0 \right>^C$ $\left| \Psi_0 \right>$ $C$

4.ハミルトニアンシミュレーション：

まず、は行列の条件番号（Wikipediaの「条件番号」のページ）です。 $\kappa$ $A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ は、量子ゲートの数学的表現です。

合計の最初の部分は制御部分です。これは、演算が最初の量子レジスター（指数が示すレジスター）の状態によって制御されることを意味します。 $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ $C$

2番目の部分は「ハミルトニアンシミュレーション」ゲートです。つまり、与えられるユニタリ行列を2番目のレジスタ（初期状態あるレジスタ適用する量子ゲートです）。 $e^{iA\tau t_0/T}$ $I$ $\left|b\right>$

全体の合計は、である「1.定義」の量子回路における制御されたU演算の数学的表現です。 $U = e^{iA\tau t_0/T}$

— ネリミー
ソース

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ 最初の質問への回答として、それがどのように機能するかについての私の理解について少し前に自分自身にいくつかのメモを書きました。表記は少し異なるかもしれません（私はそれをもっと詳しく説明しようとしましたが、ビットをのは簡単です）が、その状態の選択を説明しようとします。がいくつかの場所に浮かんでいるいくつかの要因もあるようです。 $|\Psi_0\rangle$ $\frac12$

私たちが最初に位相推定を研究するとき、私たちは通常、Shorのアルゴリズムなどの特定のアルゴリズムでの使用に関してそれを考えています。これには特定の目標があります。固有値への最適なビットの近似を取得することです。するかしないかのどちらかであり、位相推定の説明は、できるだけ高い成功確率を与えるように特に調整されています。 $t$

HHLでは、我々はいくつかの状態生成しようとしている、位相推定を利用します。これの近似の正確さは、0から遠い固有値ではなく、0に近い固有値の正確な推定にはるかに大きく依存します。したがって、明らかなステップは、位相推定プロトコルを変更して、の位相を近似するために固定幅「ビン」を使用する（およびは位相推定レジスターのキュービットの数）よりも、用

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$

2 π / T

$2\pi/T$

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$

T = 2^{t}

$T=2^t$

t

$t$

ϕ_{y}

$\phi_y$

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$ を各ビンの中心として機能させることで、0フェーズに近い精度を大幅に向上させることができます。より一般的には、フェーズ関数として、エラーに対する許容度のトレードオフ関数を指定できます。この機能の正確な性質は、特定のアプリケーション、および成功を判断するために使用する特定の性能指数に合わせて調整できます。Shorのアルゴリズムの場合、私たちの性能指数は単にこのビニングプロトコルでした-答えが正しいビンにあれば成功し、それ以外では失敗しました。これはHHLの場合には当てはまりません。HHLの成功は、忠実度などの継続的な測定によってより合理的に捕捉されます。したがって、一般的なケースでは、コスト関数を指定します

ϕ

$\phi$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ これは、真のフェーズが場合、回答ペナルティを指定します。

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ

$\phi$

標準の位相推定プロトコルは、のすべての基底状態の均一な重ね合わせである入力状態を生成することによって機能したことを思い出してください。この状態は、逆フーリエ変換が後に続く複数の制御されたゲートの順次適用を制御するために使用されました。入力状態を他の状態ことができ、残りのプロトコルが以前のように動作します。ここでは、基本的な概念を伝えようとしているだけなので、新しい状態を生成するのがどれほど難しいかという問題は無視します。この状態から始めて、制御された使用 $\ket{x}$ $x\in\{0,1\}^t$ $U$

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

U

$U$ ゲート（固有値の固有ベクトルをターゲットとする）は、状態逆フーリエ変換を適用すると、答え（つまり）が得られる確率はコスト関数の期待値ので、のランダム分布と仮定、さ

U

$U$

ϕ

$\phi$

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$

y

$y$

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$

ϕ

$\phi$

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$ そして私たちの仕事は、特定の実現のためにこれを最小化する振幅を選択することです。が関数のみであるという単純化の仮定をすると、積分の変数を変更してを与えることができます前述したように、最も有用な尺度は忠実度の尺度である可能性があります。州があることを考えてください

α_{x}

$\alpha_x$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$

| + ⟩

$\ket{+}$ ユニタリを実装したいのですが、代わりにを実装しています。忠実度は、これが目的のタスクなので理想的なケースではなので、最小化したいエラーはと見なすことができます。これは確かにを評価するための正しい関数です。

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$

F = {| ⟨ + | U_{ϕ^{'}}^{†} U | + ⟩ |}^{2} = \cos^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

C (ϕ - ϕ^{'}) = \sin^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

F = 1

$F=1$

1 - F

$1-F$

U^{t}

$U^t$ 、しかし、位相だけでなく振幅を変更するというより一般的なタスクの場合、不正確さの影響はプロトコルを介してそれほど重要ではない方法で伝播するため、関数は、状態の均一な重ね合わせに対していくつかの改善をすでに提供します。このフォームを続行すると、の積分を実行できるので、関数を最小化しますこれは、次のように簡潔に表現できます。

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} \sin^{2} (\frac{1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$

ϕ

$\phi$

\frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$

min ⟨ Ψ_{0} | H | Ψ_{0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$ ここで、の最適な選択は、行列最小固有ベクトル、およびは最小固有値重要なことに、が大きい場合、は、均一結合の選択から得られたではなく、としてスケーリングし

H = \frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

H

$H$

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$

\bar{C}

$\bar C$

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$

T

$T$

\bar{C}

$\bar C$

1 / T^{2}

$1/T^2$

1 / T

$1/T$

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$ 。これは、エラー分析に大きなメリットをもたらします。

HHLペーパーで報告されているのと同じを取得したい場合は、用語を追加する必要があると思いますをハミルトニアンに。私にはそうする正当な理由はありませんが、これはおそらく私の失敗です。 $|\Psi_0\rangle$ $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$

— DaftWullie
ソース

線形連立方程式（HHL09）の量子アルゴリズム：ステップ2-？

質問：

1.定義

1.1登録名

2.：|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

3.準備：|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

4.ハミルトニアンシミュレーション：

2.： $\left|\Psi_0\right>$

3.準備： $\left|\Psi_0\right>$