タグ付けされた質問 「master-theorem」

ウィキペディアと私が見つけた他のソースはvoid、空のタイプではなくユニットタイプとしてリストCのタイプを見つけました。void空の/下の型の定義によりよく適合するように思えるので、この混乱を見つけます。 void私が知る限り、値は存在しません。 戻り値の型がvoidの関数は、関数が何も返さないため、何らかの副作用しか実行できないことを指定します。 タイプのポインターvoid*は、他のすべてのポインタータイプのサブタイプです。また、void*C との間の変換は暗黙的です。 最後の点voidに、空の型であることの引数としてのメリットがあるかどうかはわかりvoid*ませんvoid。 一方、voidそれ自体は他のすべてのタイプのサブタイプではありません。これは、タイプがボトムタイプであるための要件であると言えます。

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マスター定理は、特定の種類の再発を解決するための美しいツールです。しかし、私たちはそれを適用するとき、しばしば不可欠な部分に光沢をつけます。たとえば、Mergesortの分析中は、 T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n) に T′（n ）= 2 T′（n2） +f（n ）T′（n）=2T′（n2）+f（n）\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n) のみを考慮します。Tは「うまく」動作するので、このステップが有効であること、つまりことを保証します。一般に、bを共通分母としてn = b kと仮定します。n = 2kn=2kn=2^kT∈ Θ （T′）T∈Θ（T′）T \in \Theta(T')TTTn=bkn=bkn=b^kbbb 悪質なを使用すると、この単純化を許可しない繰り返しを簡単に作成できfffます。たとえば、上記のTの繰り返しTTT\,/T′T′\,T'と f(n)={1n,n=2k,elsef（n）={1、n=2kn、他に\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases} マスター定理を通常の方法で使用してを生成しΘ(n)Θ（n）\Theta(n)ますが、明らかにように成長するサブシーケンスがありますΘ(nlogn)Θ（nログ⁡n）\Theta(n …

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再発を考慮する T（n ）= n−−√⋅ T（ n−−√） +cnT(n)=n⋅T(n)+cn\qquad\displaystyle T(n) = \sqrt{n} \cdot T\bigl(\sqrt{n}\bigr) + c\,n 以下のための、いくつかの正の定数を有する、および。c T （2 ）= 1n > 2n>2n \gt 2cccT（2 ）= 1T(2)=1T(2) = 1 再発を解決するためのマスター定理は知っていますが、それを使用してこの関係をどのように解決できるかはわかりません。平方根パラメーターにどのようにアプローチしますか？

18 asymptotics  recurrence-relation  master-theorem 

Cormenらによるアルゴリズムの紹介を読んでいます。そして、私は73ページから始まるマスター定理の声明を読んでいます。ケース3では、定理を使用するために満たす必要がある規則性条件もあります。 ... 3.場合 f(n)=Ω(nlogba+ε)f(n)=Ω(nlogb⁡a+ε)\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon}) いくつかの定数場合、およびε&gt;0ε&gt;0\varepsilon > 0 af(n/b)≤cf(n)af(n/b)≤cf(n)\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n) [ これは規則性条件です ] いくつかの定数および十分に大きい場合、..c&lt;1c&lt;1c < 1nnn 規則性条件が必要な理由を誰かに教えてもらえますか？条件が満たされない場合、定理はどのように失敗しますか？

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次の再帰方程式のバウンドを見つけようとしています。ΘΘ\Theta T(n)=2T(n/2)+T(n/3)+2n2+5n+42T(n)=2T(n/2)+T(n/3)+2n2+5n+42 T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 マスター定理は、副問題と分割の量が異なるため不適切であると考えています。また、またはがないため、再帰ツリーは機能しません。T （0 ）T(1)T(1)T(1)T(0)T(0)T(0)

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次の再帰方程式を考える T(n)=2T(n2)+nlognT(n)=2T(n2)+nlog⁡n T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log nマスター定理を適用して、 nlog2(2)=n.nlog2⁡(2)=n. n^{\log_2(2)} = n. 次に、最初の2つのケースである\ varepsilon&gt; 0をチェックしますε&gt;0ε&gt;0\varepsilon > 0。つまり、 nlogn∈O(n1−ε)nlog⁡n∈O(n1−ε)n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})または nlogn∈Θ(n)nlog⁡n∈Θ(n)n\log n \in \Theta(n)。 2つのケースは満足されていません。したがって、3番目のケースをチェックする必要があります。つまり、 nlogn∈Ω(n1+ε)nlog⁡n∈Ω(n1+ε)n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})。 3つ目の条件も満たされていないと思います。しかし、なぜ？そして、なぜこの場合にマスター定理が適用できないのかについての良い説明は何でしょうか？

11 proof-techniques  asymptotics  recurrence-relation  master-theorem 

フォンブランドの回答に続いて、私は生徒のためのより強力なマスター定理についての小さな文書を書きたいと思います。その1つがアクラ・バッツィの定理です。私は彼らの論文[1]から定理をコピーして、小さな表記上の混乱²の他に、次の問題を発見しました。 著者は必要とします（私の強調）： g(x)g(x)g(x) 実際の値に対して定義されています xxx、有界の正の非減少関数 ∀x≥0∀x≥0\forall x \geq 0 ここに、 ggg 通行料関数です。つまり、繰り返しは次の形式です T(n)=g(n)+∑i=1kaiT(⌊nb−1i⌋)T(n)=g(n)+∑i=1kaiT(⌊nbi−1⌋)\qquad\displaystyle T(n) = g(n) + \sum_{i=1}^k a_i T\bigl(\lfloor n b_i^{-1} \rfloor\bigr)。 今、彼らの論文の最後（p209）で、彼らは彼らの結果を適用するための複数の例を示し、彼らは Ω(n)Ω(n)\Omega(n)これは明らかに制限されていません。 証明をスキミングすることから、彼らは主に形式の積分を要求するようです ∫bag（x ）バツp + 1dバツ∫abg(x)xp+1dx\qquad\displaystyle \int_a^b \frac{g(x)}{x^{p+1}} dx 有限の値を持っています。したがって、gggすべてのコンパクトな間隔に制限されることで十分かもしれません。私は証明を詳細に処理しませんでした。彼らがそれを意味することは可能ですか？ 私の質問は、アクラ・バッツィの定理は、証明と例と一致するようにどのように述べられるべきですか？ M. AkraおよびL. Bazzi（1998）による線形回帰方程式の解について 彼らは必要とする a私∈R∗ +ai∈R∗+a_i \in R^{*+}。これは私が知らないいくつかの表記ですか、それともタイプミスですか？意図された意味は(0,∞)⊆R(0,∞)⊆R(0,\infty) \subseteq \mathbb{R}。

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アルゴリズムの概要、第3版（p.95）には、再発を解決する方法の例があります T(n)=3T(n4)+n⋅log(n)T(n)=3T(n4)+n⋅log⁡(n)\displaystyle T(n)= 3T\left(\frac{n}{4}\right) + n\cdot \log(n) マスター定理を適用することによって。 私はそれがどのように行われるかについて非常に混乱しています。そう、a=3,b=4,f(n)=n⋅log(n)a=3,b=4,f(n)=n⋅log⁡(n)a=3, b=4, f(n) = n\cdot \log(n) 最初のステップは比較することです nlogba=nlog43=O(n0.793)nlogb⁡a=nlog4⁡3=O(n0.793)n^{\log_b a} = n^{\log_4 3}= O(n^{0.793}) と f(n)f(n)f(n)。 彼らがこれをどのように比較したのか私には手がかりがありません。本は説明します： f(n)=Ω(nlog43+ϵ)f(n)=Ω(nlog4⁡3+ϵ)f(n) = \Omega (n^{\log_4 3+\epsilon })、 どこ ϵ≈0.2ϵ≈0.2\epsilon \approx 0.2、規則性の条件が満たされることを示すことができる場合、ケース3が適用されます f(n).f(n).f(n). に続く： nが十分に大きい場合、次のようになります。 af(nb)=3(n4)log(n5)≤(34)nlogn=cf(n) for c=34.af(nb)=3(n4)log⁡(n5)≤(34)nlog⁡n=cf(n) for c=34.af\left(\frac{n}{b}\right) = 3\left(\frac{n}{4}\right)\log\left(\frac{n}{5}\right) \le\left(\frac{3}{4}\right)n \log n = cf(n)~ for~ …

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Hoareロジックを使用して2つの行列を乗算するためのプログラムの正確性を証明することについて、卒業論文を作成しています。これを行うには、このプログラムの入れ子ループの不変式を生成する必要があります。 for i = 1:n for j = 1:n for k = 1:n C(i,j) = A(i,k)*B(k,j) + C(i,j); end end end 私は最初に内部ループの不変式を見つけようとしましたが、今までは本当のものを見つけることができません。上記のプログラムの不変式を見つけるのを手伝ってくれる人はいますか？

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