マスター定理を使用する場合の仮定

マスター定理は、特定の種類の再発を解決するための美しいツールです。しかし、私たちはそれを適用するとき、しばしば不可欠な部分に光沢をつけます。たとえば、Mergesortの分析中は、

$\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n)$

に

$\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n)$

のみを考慮します。は「うまく」動作するので、このステップが有効であること、つまりことを保証します。一般に、共通分母としてと仮定します。 $n=2^k$ $T \in \Theta(T')$ $T$ $n=b^k$ $b$

悪質なを使用すると、この単純化を許可しない繰り返しを簡単に作成でき $f$ ます。たとえば、上記の繰り返し $T\,$ / $\,T'$ と

$\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases}$

マスター定理を通常の方法で使用してを生成し $\Theta(n)$ ますが、明らかにように成長するサブシーケンスがあり $\Theta(n \log n)$ 。より工夫された別の例については、こちらをご覧ください。

どうすればこの「きちんと」厳密にすることができますか？単調性で十分であると確信していますが、単純なマージソートの繰り返しでさえ単調ではありません。周期的な要素があります（漸近的に支配されます）。を調査するだけで十分ですか？また、マスター定理が機能することを保証する $f$ 必要十分条件は何ですか？ $f$

— ラファエル
ソース

同じ結果に対する別の考え方は、Akra-Bazziの定理「線形回帰方程式の解法」、計算の最適化と応用、10（2）、195-210（1998）、またはDrmotaとSzpankowskiの「離散除算のマスター定理」です。 and Concurrences」、SODA'11 < dl.acm.org/citation.cfm?id=2133036.2133064 >。

— フォンブランド

ここに、ペイウォールの背後にない上記の論文へのリンクがあります。

— Paresh

IIRCこれはCLRS第4章で説明されています。

— Kaveh

@Kavehポインタをありがとう。ほとんどの場合、彼らはそれを「許容できるずさんな」と呼んでいます。彼らはあなたが仮説を導き出すだけで、後で帰納法によって正しいことが証明されると仮定しているので、これは彼らの文脈では問題ありません。彼らは危険について言及している（4.6）。4.6.2では、それらは証明を提供しますが、それは高レベルであり、

どのような制限を設ける必要があるかを明示的に述べていません。だから、それは「数学が通過するような

」のようなもののようで、私は主に

が「素敵な」

クラスを持つことを必要とすると思う。

T

$T$

T

$T$

f

$f$

Θ

$\Theta$

— ラファエル

一般的な場合、同様のサイズを持っていない場合、マスター定理の一般化であるAkra–Bazziメソッドを使用できます。特定の関数をこの定理で機能するものに変更するには、ちょっとしたトリックが必要です。これは通常、時間の複雑さを証明するために人々が使用しているものです。

この答えを通して、とは負でないと仮定します。証明は、単調なに対してときはいつでも機能します。これには、であるMergesortの例と、多項式成長率（またはさえある関数含まれます。 $f$ $T$ $f = \Theta(g)$ $g$ $f=\Theta(n)$ $\Theta(n^a \log^b n)$

最初に、が単調な非減少である場合を考えてみましょう（この仮定は後で緩和します）。私たちはあなたのサンプル再発に集中この繰り返しには、と 2つの基本ケースが必要です。私たちは、その仮定を作る $f$

T （ n ） = T （ ⌊ n / 2 ⌋ ） + T （ ⌈ n / 2 ⌉ ） + f （ n ） 。

$T(n) = T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n).$

T (0)

$T(0)$

T (1)

$T(1)$

私たちも後にリラックスし、。

T (0) \leq T (1)

$T(0) \leq T(1)$

は単調な非減少であると主張します。我々はそれを完全な誘導によって証明。これがために与えられ、そうしましょう。我々は持っている $T(n)$ $T(n+1) \geq T(n)$ $n = 0$ $n \geq 1$ これはことを意味その場合は

\begin{aligned} T (n + 1) & = T (⌊ (n + 1) / 2 ⌋) + T (⌈ (n + 1) / 2 ⌉) + f (n + 1) \\ \geq T (⌊ n / 2 ⌋) + T (⌈ n / 2 ⌉) + f (n) = T (n) . \end{aligned}

$\begin{align*} T(n+1) &= T(\lfloor (n+1)/2 \rfloor) + T(\lceil (n+1)/2 \rceil) + f(n+1) \\ &\geq T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n) = T(n). \end{align*}$

T (2^{⌊ \log_{2} n ⌋}) \leq T (n) \leq T (2^{⌈ \log_{2} n ⌋}) .

$T(2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}) \leq T(n) \leq T(2^{\lceil \log_2 n \rfloor}).$

、完了です。2のべき乗の解の形式が

場合、これは常に

。

T (2^{m}) = Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) = \Theta(T(2^{m+1}))$

T (n) = Θ (n^{a} \log^{b} n)

$T(n) = \Theta(n^a \log^b n)$

それでは、という仮定をリラックスさせて。のみとまったく同じ方法で定義された新しい再発考えます。私たちは、その誘導によって証明することができます $T(0) \leq T(1)$ $T'$ $T'(0) = T'(1) = \min(T(0),T(1))$ $T'(n) \leq T(n)$ 。同様に、我々は、新しい再発定義することができるを満足、その後、。マスター定理を呼び出すと、および $T''$ $T''(0) = T''(1) = \max(T(0),T(1))$ $T(n) \leq T''(n)$ $T'=\Theta(h)$ のために同じ関数なども同様。 $T''=\Theta(h)$ $h$ $T = \Theta(h)$

ここで、が単調であるという仮定を緩和しましょう。ある単調関数についてと仮定します。したがっていくつかのためにおよび十分な大きさ。簡単にするために、と仮定します。一般的なケースは、前の段落のように処理できます。ここでも、2つの繰り返しを定義します $f$ $f = \Theta(g)$ $g$ $cg(n) \leq f(n) \leq Cg(n)$ $c,C>0$ $n$ $n=0$ （それぞれを置き換えます。もう一度、マスター定理は同じ結果（定数倍まで）を与えます。これは、2のべき乗のみで元の再帰を解くことによって得られるものと同じ（定数倍まで）です。 $T',T''$ $f$ $cg,Cg$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

T (2^{m}) \in Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) \in \Theta(T(2^{m+1}))$

T

$T$

c g

$cg$

f

$f$

C g

$Cg$

c < 1

$c < 1$

f = Θ (n^{α})

$f = \Theta(n^\alpha)$

g

$g$

f = Θ (n^{α} \log^{β} n)

$f = \Theta(n^\alpha \log^\beta n)$

g

$g$

f

$f$

g

$g$

f = Θ (g)

$f = \Theta(g)$

— ユヴァルフィルマス

g

$g$

f : n \mapsto 2^{n}

$f : n \mapsto 2^n$

g

$g$

c g

$cg$

C g

$Cg$

まだ技術的だと思います。あなたが心配している状態は技術的な状態です。実際に表示されるほとんどの機能では、条件が保持されます。上記の証明スケッチが通過する最も一般的な条件を求めています。それは私が答えるのが面倒だという興味深い質問です。

— ユヴァルフィルマス