2つの再帰呼び出しを含む再帰方程式を解く

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次の再帰方程式のバウンドを見つけようとしています。 $\Theta$

T (n) = 2 T (n / 2) + T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42$

マスター定理は、副問題と分割の量が異なるため不適切であると考えています。また、またはがないため、再帰ツリーは機能しません。 $T(1)$ $T(0)$

asymptotics recurrence-relation master-theorem

— ローラ
ソース

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その形式の再発がある場合、すべてのに対してと言うベースケースがなければなりません。そうでない場合、繰り返しが何を解決するのか言うことはありません：多分、すべてのに対してで、は元の問題のサイズです！（元の要素のすべてのサブセットに対して再帰するものの定数を比較することで終わる再帰を想像してください）つまり、ベースケースがない場合、再帰を解決するのに十分な情報がないことを意味します。

T (n) \leq 42

$T(n) \leq 42$

n < 100

$n < 100$

T (n) = 2^{m}

$T(n) = 2^m$

n < 100

$n < 100$

m

$m$

— アレックス10ブリンク

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はい、再帰ツリーはまだ機能します！これは、ベースケースがで発生したか否か全く問題ではない又は又はであっても、または。また、基本ケースの実際の値が何であるかは関係ありません。その値が何であれ、それは定数です。 $T(0)$ $T(1)$ $T(2)$ $T(10^{100})$

大きなシータグラスを通して見ると、再発はです。 $T(n) = 2T(n/2)+T(n/3)+n^2$

再帰木のルートの値は $n^2$ です。
ルートには、値、、および持つ3つの子があります。したがって、すべての子の合計値である。 $(n/2)^2$ $(n/2)^2$ $(n/3)^2$ $(11/18) n^2$
健全性チェック：ルートには9人の孫がいます。4人は値人は値、そして1人は値です。これらの値の合計である。 $(n/4)^2$ $(n/6)^2$ $(n/9)^2$ $(11/18)^2 n^2$
簡単誘導証拠は、任意の整数のためにあることを意味、レベルのノード合計値有する。 $\ell\ge 0$ $3^\ell$ $\ell$ $(11/18)^\ell n^2$
レベルの合計は、これだけ最大用語下降等比級数を形成事項。 $\ell=0$
と結論付けます。 $T(n) = \Theta(n^2)$

— ジェフ
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より一般的なAkra-Bazziメソッドを使用できます。

あなたのケースでは、我々は見つける必要があるでしょう、このような $p$

\frac{1}{2^{p - 1}} + \frac{1}{3^{p}} = 1

$\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{3^p} = 1$

（与える） $p \approx 1.364$

そして、私たちは持っています

T (x) = Θ (x^{p} + x^{p} \int_{1}^{x} t^{1 - p} d t) = Θ (x^{2})

$T(x) = \Theta(x^p + x^p\int_{1}^{x} t^{1-p} \text{d}t) = \Theta(x^2)$

本当にを解く必要はないことに注意してください。知っておく必要があるのは、です。 $p$ $1 \lt p \lt 2$

より簡単な方法は、、が有界であることを証明することです。 $T(x) = x^2 g(x)$ $g(x)$

— アルヤバタ
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ましょう再発の右側の省略形です。下側及び上側に向かう我々見つける用いて、。 $f(n) = 2T(n/2) + T(n/3) + 2n^2 + 5n + 42$ $f$ $T(n/3) \leq T(n/2)$

3 T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42 \leq f (n) \leq 3 T (n / 2) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$3 T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 \quad \le\quad f(n) \quad\leq \quad 3 T(n/2) + 2n^2+ 5n + 42 \quad$

下位の回答を使用する場合。上部の再発の右側としてバインド、我々が得るマスターの定理により、両方のケースで。したがって、によって上方から制限されるとによって下方からまたは、等価的に、。 $T'(n) \in \Theta(n^2)$ $T(n)$ $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $T(n) \in \Theta(n^2)$

完全な証明を得るには、が増加関数であることを証明する必要があります。 $T$

— ラファエル
ソース

チャットでこの議論を続け

— ラファエル

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、再帰ツリーで解決できる同様の繰り返しでは、このトリックは機能しません。（ただし、再帰ツリーでさえも

では機能しません。これはAkra-Bazziで解決できます。）

T (n) = 2 T (n / 2) + 3 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 3T(n/3) + n^2$

T (n) = 2 T (n / 2) + 4 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 4T(n/3) + n^2$

— JeffE